Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2000

Numerische Mathematik II

Übungsblatt 2 , Abgabe: 04.05.00 , 13.00 Uhr

Sei −∞ < a < b < +∞, ω(x) ∈ C[a, b], ω(x) > 0 für x ∈ (a, b). Sei für f, g ∈ C[a, b],

(f, g) := ∫_{a}^{b} ω(x)f(x)g(x)dx,
∥f∥ := (f, f)^{1/2},

Sei {π_{0}, π_{1}, ...} ein Orthogonalsystem:

1. π_{k} ∈ ℙ_{k}, k ∈ ℕ,

2. (π_{j}, π_{k}) = δ_{jk} (Kronecker Symbol). Für f ∈ C[a, b] werden die FOURIER-Koeffizienten definiert.

c_{k} := (f, π_{k}), k ∈ ℕ.

Beweisen Sie folgende:

Aufgabe 5: (5 Punkte) TOEPLER: Sei

U(x) := ∑_{k=0}^{n} a_{k}π_{k}(x).

Das Integral

F (U) := ∥U − f∥^{2} = ∫_{a}^{b} ω(x)|U(x) − f(x)|^{2}dx

wird durch (den Abschnitt der FOURIER-Reihe von f(x))

s_{n}(x) := ∑_{k=0}^{n} c_{k}π_{k}(x),

minimiert. Das Minimum hat den Wert

F (s_{n}) = ∥s_{n} − f∥^{2} = (f, f) − ∑_{k=0}^{n} c_{k}^{2}

Aufgabe 6: (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Reihe

∑_{k=0}^{∞} c_{k}^{2}

konvergiert und die (BESSELSCHE) Ungleichung erfüllt:

∑_{k=0}^{∞} c_{k}^{2} ≤ ∥f∥^{2}

Aufgabe 7: (4 Punkte) Zeigen Sie, eventuell mit Hilfe des Satzes von WEIERSTRASS, dass (die PARSEVALSCHE-Gleichung) gilt:

∑_{k=0}^{∞} c_{k}^{2} = ∥f∥^{2}

Aufgabe 8: (4 Punkte) Benutzen Sie die Methode von Nyström und die Gaußschen Integrationsformel

∫_{−1}^{+1} g(s)ds ≐ g(−\frac{1}{\sqrt{3}}) + g(+\frac{1}{\sqrt{3}})

um die Integralgleichung von LOVE

f(t) + \frac{1}{π} ∫_{−1}^{+1} \frac{f(s)}{1 + (s − t)^{2}} ds = 1, −1 ≤ t ≤ 1

numerisch zu approximieren (d. h. f in den Punkten

x = ±\frac{1}{\sqrt{3}}

approximieren).