Prof. Dr. C. W. Cryer  20. Januar 2000  WS 1999/00

PROBEKLAUSUR “Numerische Mathematik I”

Die Vorklausur umfaßt Fragen aus den Übungsblättern 1-11 und der Vorlesung bis einschließlich 3. Feb 2000.

Aufgabe 1: Bestimmen Sie zu

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}14 \\ 36 \\ 61 \end{matrix} )

(a) die Lösung x von Ax = b mit Spaltenpivotsuche.

(b) die LR-Zerlegung.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie das zu f(x) = x^{5} und den Interpolationsstellen x = −1, 0, 1, 2 gehörende Interpolationspolynom

(a) durch “naive” Vorgehensweise, d. h. durch Aufstellen eines geeigneten Gleichungssystems

(b) mit der Newton’schen Interpolationsformel.

Aufgabe 3: Zeigen Sie, daß das Newtonverfahren für das Nullstellenproblem

f(x) = x − e^{−x} = 0

für alle Startwerte x_{0} ≥ 0 gegen die gesuchte Lösung konvergiert.

Aufgabe 4:

(a) Für welche Matrizen ist die Gauß-Elimination ohne Pivotsuche durchführbar und warum ?

(b) Wie sind B-Splines definiert ?

(c) Betrachten Sie das nichtlineare Gleichungssystem der Form

f(x) = 0 mit f : IR → IR .

Es sei f in einer Umgebung einer Nullstelle stetig differenzierbar mit f′(x) ≠ 0. Konvergiert das Newton-Verfahren für einen beliebigen Startwert aus dieser Umgebung ?

(d) Wie ist die Konditionszahl einer nichtsingulären Matrix A ∈ M(n, n, IR) definiert ?

(e) Was sind Maschinenzahlen ?

(f) Nennen Sie Iterationsverfahren für nichtlineare Gleichungen.

Aufgabe 5: Zeigen Sie: Die Inverse einer regulären unteren Dreiecksmatrix L ∈ IR^{n×n} ist eine untere Dreiecksmatrix,

Aufgabe 6: Sei x^{(k)} die Iterationsfolge, die durch Anwendung einer Iteration x^{(k+1)} = ϕ(x^{(k)}, x^{(k−1)}; f) zur Lösung einer Gleichung f(x) = 0 entsteht. Es gelte: x^{(k)} → x^{∗}. Sei

ϵ_{k} := x^{(k)} − x^{∗} , ϵ_{k} ≠ 0  (1)

und es gelte

ϵ_{k+1} = Cϵ_{k}ϵ_{k−1}^{2} , C = konstant  (2)

• Zeigen Sie, daß die Ordnung dieser Methode gleich 2 ist.

• Zeigen Sie, daß es keine Funktion G gibt, so daß

ϕ(u, v; f) = G(u, v, f(u), f(v)).

Aufgabe 7: Die Rekursionsformel für B-Splines für den Fall t_{i} = i ∈ Z, k ≥ 2 lautet

B_{i,k}(x) = \frac{1}{k − 1}\{(x − i)B_{i,k−1}(x) + (i + k − x)B_{i+1,k−1}\}.

Beweisen Sie damit (oder anders) die Summationsformel

∑_{j=i−k+1}^{i} B_{j,k}(x) = 1 für i < x < i + 1, k ≥ 1.

Aufgabe 8: Auf einer Maschine mit Gleitkommaarithmetik (Basis t und Mantissenlänge d) sei M die Menge der Maschinenzahlen und eps = \frac{1}{2}d^{−t+1}. Für x, y ∈ M gibt es ein δ ∈ IR mit |δ| ≤ eps und

rd(x ∗ y) = (x ∗ y)(1 + δ).

Das Produkt P_{n} = ∏_{i=1}^{n} x_{i} ≠ 0 von n Zahlen x_{i} ∈ M werde durch folgenden Algorithmus berechnet:

\begin{matrix}P_{0} = 1 \\ for i = 1 to n : P_{i} = P_{i−1} ∗ x_{i}. \end{matrix}

Es bezeichne \overline{P}_{n} das tatsächlich berechnete Produkt. Zeigen Sie, daß

\frac{\overline{P}_{n}}{P_{n}} ≤ e^{n·eps}.