Prof. Dr. C. W. Cryer WS 99/2000

Numerische Mathematik

Übungsaufgabe 7, Abgabe 9.12.1999, 13.00

Aufgabe 27: (3 Punkte)

Sei

A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 7 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie die Konditionszahlen κ_{1}, κ_{2} und κ_{∞} von A.

Aufgabe 28: (4 Punkte) Zeigen Sie:

Für A, B ∈ Mat(n, n) gilt:

||AB||_{F} ≤ ||A||_{F} ||B||_{F}

Aufgabe 29: (2 Punkte) Sei \binom{x_{1}}{x_{2}} die Lösung des Gleichungssystems

x_{1} + 2x_{2} = 4
0.001x_{1} + x_{2} = 0.51 ,

die mit dem Gaußalgorithmus bei zweistelliger Gleitkommaarithmetik mit Basis zehn und mit Rundung berechnet werden soll.

a) Zeigen Sie:

L̂ = ( \begin{matrix}1.0 & 0 \\ 0.001 & 1.0 \end{matrix} ) R̂ = ( \begin{matrix}1.0 & 2.0 \\ 0 & 1.0 \end{matrix} )

b) Bestimmen Sie die berechnete Lösung x̂.

c) Geben Sie eine Matrix E an mit

(A + E)x̂ = b
|E| ≤ 0.00075(3|A| + 5|L̂| · |R̂|)

Aufgabe 30: (5 Punkte) Der Wachstumsfaktor bei der Gaußelimination ist definiert als

ρ_{n}(A) = \frac{max_{i,j,k} |a_{ij}^{(k)}|}{max_{i,j} |a_{ij}|} .

a) Berechnen Sie ρ_{n} für die Hadamardmatrizen

H_{2} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} )

b.w.

(2)

H_{4} = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & −1 \end{matrix} )

b) A sei eine n × n symmetrische positiv definite Matrix. Zeigen Sie, daß ρ_{n}(A) ≤ 1.