Prof. Dr. C. W. Cryer WS 99/2000

Numerische Mathematik

Übungsaufgabe 6, Abgabe 2.12.1999, 13.00

Aufgabe 23: (1 + 4 Punkte)

a) Geben Sie für x = (−3, 2, 7)^{T} ∥x∥_{1}, ∥x∥_{2} und ∥x∥_{∞} an.

b) Berechnen Sie für A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 4 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ∥A∥_{1}, ∥A∥_{2}, ∥A∥_{∞} und ∥A∥_{F} .

Aufgabe 24: (5 Punkte) Zeigen Sie: Ist F eine n × n-Matrix mit ||F || < 1, so existiert (I + F)^{−1} und es gilt

||(I + F)^{−1}|| =^{<} \frac{1}{1 − ||F ||}.

Aufgabe 25: (5 Punkte) Sei A eine nichtsinguläre n × n-Matrix, B = A(I + F), ||F || < 1 und x und Δx definiert durch

Ax = b, B(x + Δx) = b. Dann gilt \frac{||Δx||}{||x||} =^{<} \frac{||F ||}{1 − ||F ||}, sowie, falls cond(A) · ||B − A||/||A|| < 1,

\frac{||Δx||}{||x||} =^{<} \frac{cond(A)}{1 − cond(A)\frac{||B−A||}{||A||}} \frac{||B − A||}{||A||}.

Aufgabe 26: (5 Punkte) Sei H_{n} die n × n Hilbert Matrix (\frac{1}{i+j−1})_{1≤i,j≤n}.

Sei B_{n} = (b_{ij}^{(n)}) = H_{n}^{−1}.

a) Überprüfen Sie die Formel

b_{ij}^{(n)} = \frac{(−1)^{i+j}(n + i − 1)!(n + j − 1)!}{(i + j − 1)[(i − 1)!(j − 1)!]^{2}(n − i)!(n − j)!}

für n ≤ 3.

b) Bestimmen Sie b_{11}^{(n)} und b_{nn}^{(n)}, n ∈ IN.

c) Benutzen Sie die Formel von Stirling, um eine asymptotische Darstellung für b_{nn}^{(n)} zu bekommen.

d) Zeigen Sie, daß die Matrizenelemente von B_{n} ganzzahlig sind.

Hinweis: Binomialkoeffizienten sind ganzzahlig.