Prof. Dr. C. W. Cryer WS 99/2000

Numerische Mathematik

Übungsaufgabe 5, Abgabe 25.11.1999, 13.00

Aufgabe 19: (5 Punkte) Verwenden Sie den folgenden Algorithmus (mit einfacher Genauigkeit, d.h. float)

sum = 1.0; k = 0; p = 1.0;
do{

k = k + 1; p = p ∗ x/k sumold = sum; sum = sum + p; }while{sumold ≠ sum}.

zur Berechnung der Summe

∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}

Berechnen Sie die Summe für

x = +1, −1, +5, −5, +100, −100

und drücken Sie jeweils folgende Daten aus exact = e^{x}, sum, Fehler = sum - exact, Relative Fehler = |Fehler/exact|.

Erklären Sie die Ergebnisse.

Aufgabe 20: (10 Punkte) (Abgabe: 2.12.1999)

a) Im entsprechenden Verzeichnis /u/stypa/Public/... finden Sie ein Program “gauss1.c”, welches das System

( \begin{matrix}3 & 1 & 6 & 23 \\ 2 & 1 & 3 & 13 \\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{matrix} )

durch Gaußelimination (ohne Pivotsuche) und Rückwärtseinsetzen löst. Durch Rundungsfehlereinfluß wird allerdings ein falsches Ergebnis geliefert. Wie groß sind die Fehler?

b) Benutzen Sie das Programm, um die Gleichungen

( \begin{matrix}13 & 13 & 10 & 42 \\ 7 & 7 & 2 & 27 \\ 10 & 1 & 1 & 15 \end{matrix} )

zu lösen. Wie groß sind die Fehler?

c) Erweitern Sie das Programm um Spaltenpivotsuche. Welche Ergebnisse werden dann geliefert?

Aufgabe 21: (5 Punkte) Es seien n, ϵ ∈ IR_{+} und n · ϵ ≤ 0.1. Zeigen Sie, daß

(1 + ϵ)^{n} ≤ 1 + 1, 06 n · ϵ .

\underline{Hinweis:} Entwickeln Sie [(1 + ϵ)^{n} − 1] und schätzen Sie wie bei der Exponentialreihe ab (vgl. Forster I, §8, Satz 2).

(b.w.)

Aufgabe 22: (5 + 5 Punkte) Sei a = (a_{1}, 0) ∈ IR^{2} und

F : IR^{2} × IR^{1} ⟶ IR^{1}
(x, y) ⟼ x_{1} − x_{2} sin y − y

Zeigen Sie:

a) Es gibt eine Umgebung U_{1} ⊂ IR^{2} von a, eine Umgebung V_{1} ⊂ IR von a_{1} und eine Abbildung

ϕ : U_{1} ⟶ V_{1}

mit

ϕ(a) = a_{1}
F (x, ϕ(x)) = 0 ∀ x ∈ U_{1}.

b) Bestimmen Sie die Verstärkungsfaktoren der Lösung

z = z(d_{1}, d_{2})

der Gleichung

d_{1} − d_{2} sin z − z = 0

für (d_{1}, d_{2}) = (a_{1}, 0).