Prof. Dr. C. W. Cryer WS 99/2000

Numerische Mathematik

Übungsaufgabe 4, Abgabe 18.11.1999, 13.00

Aufgabe 15: (5 Punkte) Man zeige: Die betragsgrößten Elemente einer positiv definiten Matrix treten in der Diagonale auf und sind positiv.

Aufgabe 16: (5 Punkte) Gegeben sei die reelle, positiv definite n × n Matrix A′. Sie sei in folgender Weise partitioniert:

A′ = [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] ,

wobei A eine m × m Matrix ist. Man zeige: C − B^{T} A^{−1}B ist positiv definit. Hinweis: Man partitioniere x in entsprechender Weise.

x = [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] , x_{1} ∈ IR^{m}, x_{2} ∈ IR^{n−m}

und bestimme bei festem x_{2} ein geeignetes x_{1}, so daß x^{T} A′x = x_{2}^{T} (C − B^{T} A^{−1}B)x_{2} gilt.

Aufgabe 17: (Programmieraufgabe) (6 Punkte) Führen Sie folgendes C-Programm aus und erklären Sie die Ergebnisse

#include <stdio.h>
/*       program arith1
*/
main()
{
       long i,n,jp,jf;
       n=40;
       jp=1;
       jf=1;
       for(i=1;i<n;i++){
         jp=jp+jp;
         jf=jf*i;
         printf("%5d%15d%15d\n",i,jp,jf);
       }
     }

Aufgabe 18: (4 Punkte) Schreiben Sie die folgenden Zahlen in Binärdarstellung und in IEEE-Darstellung mit einfacher Genauigkeit:

a) 27

b) -602 c) 12345 d) 17 ·2^{−140}