Prof. Dr. C. W. Cryer WS 99/2000

Numerische Mathematik

Übungsaufgabe 3, Abgabe 11.11.1999, 13.00

Aufgabe 11: (5 Punkte) Sei A ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(p, n), B ∈ Mat(n, m). A sei regulär. Betrachten Sie folgende Methode zur Berechnung von CA^{−1}B. Sei

Z := ( \begin{matrix}A & B \\ C & O \end{matrix} )

Die Matrix Z wird auf die Gestalt

Z := ( \begin{matrix}U & F \\ O & Q \end{matrix} )

gebracht, wobei U eine rechte Dreiecksmatrix ist, indem, wie bei Gaußscher Elimination, Vielfachkeiten der 1-er, 2-er, ..., n-ter Zeile von den folgenden Zeilen subtrahiert werden.

a) Zeigen Sie, daß

Q = −CA^{−1}B

b) Zeigen Sie, daß die Berechnungen so durchgeführt werden können, daß genau

\frac{1}{3}n^{3} − \frac{1}{3}n + \frac{1}{2}mn^{2} + \frac{1}{2}pn^{2} + mnp − \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}pn

Multiplikationen erforderlich sind.

Aufgabe 12: (5 Punkte)

A := ( \begin{matrix}1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{5} & \frac{1}{4} \end{matrix} ) b := ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

Bestimmen Sie die Lösung x der Gleichung Ax = b mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Die Berechnungen sollen exakt von Hand durchgeführt werden.

Aufgabe 13: (5 Punkte)

A := ( \begin{matrix}1 & 0, 33 & 0, 5 \\ 0, 5 & 0, 25 & 0, 33 \\ 0, 33 & 0, 20 & 0, 25 \end{matrix} ) b := ( \begin{matrix}1, 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

Bestimmen Sie die Lösung x der Gleichung Ax = b mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Die Berechnungen sollen bis auf zwei Stellen ungleich 0 gerundet werden. Bei der Ziffer 5 wird so gerundet, daß die letzte Ziffer gerade ist (rd(16, 5)= 16; rd(17, 5)= 18).

Aufgabe 14: (5 Punkte) Sei

A = ( \begin{matrix}4 & 6 & 10 \\ 6 & 13 & 13 \\ 10 & 13 & 27 \end{matrix} ) b = ( \begin{matrix}2 \\ 19 \\ −5 \end{matrix} )

Führen Sie die Cholesky-Zerlegung von Hand durch und lösen Sie das Gleichungssystem.