Prof. Dr. C. W. Cryer WS 99/2000

Numerische Mathematik

Übungsaufgabe 2, Abgabe 4.11.1999, 13.00

Aufgabe 7: (5 Punkte) (Programmieraufgabe)

A := ( \begin{matrix}3 & 6 & 8 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{matrix} )

Bestimmen Sie die LDR-Zerlegung von A mit dem Programm Matlab (Aufruf: matlab. Benutzen Sie help lu). (Bitte fügen Sie einen Ausdruck der Lösung bei.)

Aufgabe 8: (4 Punkte)

A sei eine n × n-Matrix mit Rang 1. Zeigen Sie:

es existieren Vektoren u, v ∈ IR^{n} mit A = uv^{T}.

Aufgabe 9: (3 Punkte) Sei

L_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 \end{matrix} ) , L_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & c & 1 \end{matrix} )

a) Benutzen Sie die Sätze und Hilfssätze aus der Vorlesung um folgendes zu bestimmen:

(1) L_{1}^{−1}, L_{2}^{−1}

(2) L_{1} L_{2}

Überprüfen Sie die Ergebnisse.

b) Bestimmen Sie L_{2}L_{1}.

Aufgabe 10: (8 Punkte) Die Matrix A ∈ Mat(n, n, IR) sei symmetrisch und positiv semidefinit, d.h.

x^{T} Ax ≥ 0 für alle x ∈ IR^{n}.

Zeigen Sie, daß es eine linke Matrix L gibt, so daß

A = LL^{T}