Prof. Dr. C.W. Cryer WS 1999/00

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 10 , Abgabe: 13.01.2000 , 13.00 Uhr

Aufgabe 39: (3 Punkte) Man zeige:

\frac{d}{dx}B_{i,k,t}(x) = (k − 1) \{−\frac{B_{i+1,k−1,t}(x)}{(t_{i+k} − t_{i+1})} + \frac{B_{i,k−1,t}(x)}{t_{i+k−1} − t_{i}} \}

Aufgabe 40: (3 Punkte) Sei t_{i} ≤ x ≤ t_{i+1}; r, s ∈ IN, r ≤ i + 1 − k, s ≥ i, k ≥ 1,

f(x) = ∑_{j=r}^{j=s} α_{j}B_{j,k,t}(x) .

Dann gilt:

min(α_{i+1−k}, …, α_{i}) ≤ f(x) ≤ max(α_{i+1−k}, …, α_{i})

Aufgabe 41: (6 Punkte) Folgende Daten sind gegeben:

\begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ τ_{i} & 0 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 & 4 & 4.5 & 5 & 6 \\ f(τ_{i}) & 0 & 2.9 & 3.5 & 3.8 & 3.5 & 3.5 & 3.5 & 2.6 & 0 \end{matrix}

Sei s_{Δ} der natürliche kubische Spline, der diese Daten interpoliert:

\begin{aligned}s_{Δ}(τ_{i}) & = & f(τ_{i}) , 1 ≤ i ≤ n = 9 \\ s′′_{Δ}(τ_{1}) & = & 0 \\ s′′_{Δ}(τ_{n}) & = & 0 . \end{aligned}

Erstellen Sie die Gleichungen As = b für den Vektor s ∈ IR^{n},

s = (s′′_{Δ}(τ_{i})) , 1 ≤ i ≤ n .

Aufgabe 42: (4 Punkte) Sei H ein Hilbertraum und x_{1}, …, x_{n} ∈ H seien linear unabhängig. Sei V = span(x_{1}, …, x_{n}) und v ∈ V.

1. Sei f ∈ H. Zeigen Sie: Für die beste Approximation v von f gilt:

f − v ⊥ V .

2. Sei F (w) := ∥w − f∥_{2}^{2} ∀ w ∈ H und v die beste Approximation von f.

Zeigen Sie:

F (v) − F (w) = −(v − w, v − w) ∀w ∈ V .

Aufgabe 43: (4 Punkte) Die Funktion f(x) = x^{4} soll auf dem Intervall [0, 1] durch eine Gerade ℓ(x) approximiert werden. Bestimmen Sie ℓ(x), so daß der Fehler bzgl. der L_{2}-Norm minimal wird.