Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 9, Abgabe: 15.12.1998, 11.00 Uhr, Übungskästen 43-48.

Die Programmieraufgabe darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 32: (4 Punkte)

(a) Führen Sie (mit dem Taschenrechner) 5 Schritte des Einzelschrittverfahrens und des Gesamtschrittverfahrens für das lineare Gleichungssystem aus Aufgabe 8(b) mit n = 3 aus.

(b) Zeigen Sie: Das Einzelschrittverfahren für das lineare Gleichungssystem aus Aufgabe 8(a) ist für beliebiges n konvergent.

\underline{Hinweis:} a_{i,j} = ∫_{0}^{1} x^{i+j−2}dx .

(c) Zeigen Sie: Das Gesamtschrittverfahren für das lineare System aus Aufgabe 8(b) konvergiert für n ≤ 3.

Aufgabe 33: (4 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}1 & a \\ \frac{1}{2} & 1 \end{matrix} ).

Man zeige für das Gesamtschritt- und das Einzelschrittverfahren: Das Verfahren zur Lösung von Ax = b konvergiert genau dann (für alle b und alle Startwerte x_{0}), wenn |a| < 2.

Aufgabe 34: (4 Punkte) Sei A eine (m, n)−Matrix. Sei 0 < γ < 2/σ_{1}^{2}, wobei σ_{1}^{2} der größte Eigenwert von A^{∗}A ist. Zeigen Sie:

(a) Die Iteration

x^{k+1} = x^{k} − γA^{∗}(Ax^{k} − b)

konvergiert für jede Wahl von x^{0} , b gegen eine Kleinste-Quadrate-Lösung von Ax = b.

(b) Ist x^{0} ∈ range (A^{∗}), so konvergiert die Iteration gegen die verallgemeinerte Lösung von Ax = b.

Aufgabe 35: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm zum SOR-Verfahren und lösen Sie damit das Gleichungssystem (n = 10)

4u_{ij} − u_{i+1,j} − u_{i−1,j} − u_{i,j+1} − u_{i,j−1} = h^{2} ; i, j = 1, …, n − 1, h = 1/n , u_{ij} = 0 , falls i ∈ {0, n} oder j ∈ {0, n} ,

mit ω = 1 und ω = 1.53.