Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 4, Abgabe: 10.11.1998, 11.00 Uhr, Übungskästen 43-48.

Die Programmieraufgabe darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 13: (4 Punkte) Bestimmen Sie die verallgemeinerte Inverse des dyadischen Produktes vu^{∗}, v, u ∈ K^{n}, ∥u∥_{2} = ∥v∥_{2} = 1.

Aufgabe 14: (4 Punkte) Sei A^{+} die verallgemeinerte Inverse der Matrix A. Zeigen Sie:

(i) AA^{+}A = A .

(ii) Ist A eine normale (n, n)-Matrix, d.h. AA^{∗} = A^{∗}A, so gilt AA^{+} = A^{+}A.

Aufgabe 15: (2+2 Punkte) Seien a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n}, b ∈ IR. Lösen Sie die unter- bzw. überbestimmten Systeme

(a)  ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} = b in IR^{n} ,
(b) a_{i}x = b_{i} , i = 1, …, n in IR^{1} .

Aufgabe 16: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm qrdcmp (A, d, n, m) zur QR−Zerlegung nach Householder. Die (n, m)−Matrix A enthält bei Aufruf die zu zerlegende Matrix (n ≥ m). Der Faktor R finde sich nach Ablauf des Programms oberhalb der Diagonalen von A und in dem m−Vektor d. Auf und unterhalb der Diagonalen von A befinden sich die Vektoren der Spiegelungen. Schreiben Sie weiter die Programme

qmalx (A, x, n, m) , qtmalx (A, x, n, m) ,

welche - nach Aufruf von qrdcmp (A, d, n, m) - den n−Vektor x mit Qx bzw. Q^{∗}x überschreiben.