Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorbereitung auf die Klausur NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 14, Abgabe: keine

Aufgabe 1: Die Zeilen der Matrix A bilden ein Orthonormalsystem. Zeigen Sie: A^{+} = A^{∗}.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie sämtliche Ecken von

M = {x ∈ IR^{3} : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, 2x_{1} + x_{2} − x_{3} = 1, x ≥ 0} .

Aufgabe 3: Berechnen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom vom Grad 2 zu den Stützstellen und Stützwerten:

\begin{matrix}j & x_{j} & y_{j} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & −1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}

Aufgabe 4: Sei A die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{matrix} ) , a ∈ IR .

Zeigen Sie:

(a) A ist für |a| < 1/2 invertierbar.

(b) Das SOR-Verfahren zur Lösung von Ax = b konvergiert für ω ∈ (0, 2), falls |a| < 1/2.

Aufgabe 5: Sei a > 0 und f(x) = \frac{1}{x} − a.

(a) Stellen Sie das Newton-Verfahren auf zur Lösung von f(x) = 0.

(b) Seien x_{0}, x_{1}, … die Iterierten des Newton-Verfahrens. Zeigen Sie: Ist 0 < ax_{0} < 1, so gilt x_{n} < 1/a (Graphische Argumentation genügt).

(c) Für 0 < ax_{0} < 1 konvergiert das Newton-Verfahren gegen 1/a.

Aufgabe 6: Sei x_{j} = j, j = 0, 1, 2, 3.

(a) Skizzieren Sie B_{0,2} und B_{1,2}.

(b) Wie lautet die Rekursionsformel für B-Splines?

(c) Berechnen Sie mit Hilfe von (b) den Wert von B_{0,3} (\frac{3}{2}).

Aufgabe 7: Sei x_{j} = e^{πij/2}, j = 0, …, 3. Bestimmen Sie die Koeffizienten ŷ_{k} in

p(x) = ŷ_{0} + ŷ_{1}x + ŷ_{2}x^{2} + ŷ_{3}^{1}x^{3}

so, daß p(x_{j}) = j + 1, j = 0, …, 3.