Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 12, Abgabe: 26.01.1999, 11.00 Uhr, Übungskästen 43-48.

Die Programmieraufgabe muß erst am 02. Februar 1999 abgegeben werden.

Aufgabe 44: (4 Punkte) Die sin-Funktion sei vertafelt mit der Schrittweite h = 0.1. Wie hoch muß der Interpolationsgrad sein, damit die sin-Funktion mit Genauigkeit 10^{−4} durch Interpolation berechnet werden kann?

Aufgabe 45: (4 Punkte) Seien x_{0}, …, x_{n} paarweise verschieden und y_{j} = x_{j}^{k}, j = 0, …, n. Zeigen Sie:

[y_{0}, …, y_{n}] = \{ \begin{matrix}0 & , & 0 ≤ k ≤ n − 1 \\ 1 & , & k = n \\ x_{0} + ⋯ + x_{n} & , & k = n + 1 \end{matrix}

Aufgabe 46: (4 Punkte) Seien x_{1}, …, x_{2n} reelle Zahlen.

(a) Zeigen Sie, daß

t(x) = ∏_{k=1}^{2n} sin \frac{x − x_{k}}{2}

ein trigonometrisches Polynom vom Grade n in x ist.

(b) Sei 0 ≤ x_{0} < x_{1} < … < x_{2n} < 2π. Zeigen Sie, daß das trigonometrische Polynom t vom Grade n mit t(x_{j}) = y_{j}, j = 0, …, 2n durch

t(x) = ∑_{j=0}^{2n} y_{j}t_{j}(x) ,

t_{j}(x) = \frac{w_{j}(x)}{w_{j}(x_{j})} , w_{j}(x) = ∏_{k=0, k≠j}^{2n} sin \frac{x − x_{k}}{2} .

gegeben ist.

Aufgabe 47: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Schreiben Sie ein rekursives Programm fft(y, n, sign) zur schnellen Fourier - Transformation der Länge n = 2^{k}. Für sign = −1 soll die direkte, für sign = +1 die inverse Transformation durchgeführt werden. Prüfen Sie nach, ob Ihr Programm für einige Folgen komplexer Zahlen y_{0}, …, y_{n−1} nach den Aufrufen fft(y, n, −1), fft(y, n, +1) wieder die ursprüngliche Folge liefert.