Prof. Dr. F. Natterer WS 1998/99

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 10, Abgabe: 22.12.1998, 11.00 Uhr, Übungskästen 43-48.

Aufgabe 36: (4 Punkte) Sei A eine invertierbare (n, n)-Matrix und ∥ · ∥ eine Vektornorm. Zeigen Sie:

κ(A) = \frac{max_{∥x∥=1} ∥Ax∥}{min_{∥x∥=1} ∥Ax∥}

Aufgabe 37: (4 Punkte) Sei A die (n + 1, n + 1)-Matrix

A = ( \begin{matrix}R & v \\ u^{T} & 0 \end{matrix} )

mit der (n, n)-Matrix R und den n-Vektoren u, v.

(a) Sei R invertierbar. Zeigen Sie: A ist genau dann invertierbar, wenn u^{T} R^{−1}v ≠ 0.

(b) Sei R eine invertierbare rechte Dreiecksmatrix. Geben Sie einen Algorithmus an, der Ax = b mit möglichst wenigen Rechenoperationen löst. Wieviele flops brauchen Sie (Angabe a n^{r}+ O(n^{r−1}) genügt)?

Aufgabe 38: (4 Punkte) Sei A reell und positiv definit. Zeigen Sie:

(a) |a_{ij}| ≤ \sqrt{a_{ii}a_{jj}}.

(b) max_{ij} |a_{ij}| = max_{i} |a_{ii}|.

Aufgabe 39: (4 Punkte) Seien u, v ∈ IR^{n} und A = I + uv^{T}. Zeigen Sie: A ist genau dann invertierbar, wenn u^{T} v ≠ −1. In diesem Fall ist

A^{−1} = I − \frac{uv^{T}}{1 + v^{T} u} .

Wir wünschen allen Studierenden ein FROHES WEIHNACHTSFEST und ein GUTES NEUES JAHR 1999