Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 8 , Abgabe: 19.12.1995 , 11.00 Uhr

Aufgabe 28: (4 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}1 & a \\ \frac{1}{2} & 1 \end{matrix} ).

Man zeige für das Gesamtschritt- und das Einzelschrittverfahren: Das Verfahren zur Lösung von Ax = b konvergiert genau dann (für alle b und alle Startwerte x_{0}), wenn |a| < 2.

Aufgabe 29: (4 Punkte) Die Inversion der (n, n)-Matrix A ist gleichbedeutend mit der Lösung des nichtlinearen Systems

F (X) = X^{−1} − A = 0 .

Stellen Sie das Newton-Verfahren zur Lösung von F (X) = 0 auf und zeigen Sie, daß ein Schritt des Newton - Verfahrens durch zwei Matrix - Multiplikationen und weitere n Additionen ausgeführt werden kann.

Aufgabe 30: (4 Punkte) Sei A eine (m, n)−Matrix. Sei 0 < γ < 2/σ_{1}^{2}, wobei σ_{1}^{2} der größte Eigenwert von A^{∗}A ist.

Zeigen Sie:

(a) Die Iteration

x^{k+1} = x^{k} − γA^{∗}(Ax^{k} − b)

konvergiert für jede Wahl von x^{0} , b gegen eine Kleinste-Quadrate-Lösung von Ax = b.

(b) Ist x^{0} ∈ range (A^{∗}), so konvergiert die Iteration gegen die verallgemeinerte Lösung von Ax = b.

Aufgabe 31: (4 Punkte) Lösen Sie das Gleichungssystem (n = 10)

4u_{ij} − u_{i+1,j} − u_{i−1,j} − u_{i,j+1} − u_{i,j−1} = h^{2} ; i, j = 1, …, n − 1, h = 1/n
u_{ij} = 0 falls i ∈ {0, n} oder j ∈ {0, n}

durch das SOR–Verfahren mit ω = 1 und ω = 1.53.

Wir Wünschen allen Übungsleitern und Studenten ein FROHES WEIHNACHTSFEST und ein GUTES NEUES JAHR 1996