Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 7 , Abgabe: 11.12.1995 , 11.00 Uhr

Aufgabe 24: (4 Punkte) Sei f : IR^{n} → IR^{n} stetig differenzierbar, f(\overline{x}) = 0, f′(\overline{x}) invertierbar.

Zeigen Sie: Es gibt eine Umgebung D von \overline{x}, so daß das vereinfachte Newton-Verfahren für jedes x^{0} ∈ D gegen \overline{x} konvergiert.

Aufgabe 25: (4 Punkte) Sei A eine (n, n)−Matrix. Das Eigenwertproblem Ax = λx ist äquivalent zu dem nichtlinearen Gleichungssystem

Ax − λx = 0 , ∥x∥_{2}^{2} − 1 = 0

von n + 1 Gleichungen in den n + 1 Unbekannten x_{1}, …, x_{n}, λ.

(a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix dieses Gleichungssystems und stellen Sie das Newton-Verfahren auf.

(b) Zeigen Sie: Ist λ ein algebraisch einfacher Eigenwert von A und sind die Startwerte λ^{0}, x^{0} hinreichend nahe bei λ, x gewählt, so konvergiert das Newton-Verfahren quadratisch gegen λ, x.

Aufgabe 26: (4 Punkte) Sei A eine positiv definite (n, n)-Matrix. A besitzt genau eine positiv definite Quadratwurzel X = \sqrt{A}, d.h. X^{2} = A.

(a) Stellen Sie das Newton - Verfahren für das nichtlineare System X^{2} = A von n(n + 1)/2 Unbekannten in n(n + 1)/2 Variablen x_{ij}, i ≥ j, auf.

(b) Schreiben Sie ein Programm msqrt (A, n) zur Berechnung der Quadratwurzel von A.

Tip: Die zu approximierende Matrix X ist offenbar invertierbar und kommutiert mit A. Gehen Sie deshalb von Startmatrizen X^{(0)} aus, die neben der Symmetrie ebenfalls diese Eigenschaften haben. Unter der Annahme, daß in einem Schritt des Newton-Verfahrens X^{(k+1)} eindeutig bestimmt werden kann, erhalten Sie eine explizite Darstellung von X^{(k+1)}, die im wesentlichen eine Matrixinversion und eine Matrizenmultiplikation enthält.

Aufgabe 27: (4 Punkte) Sei f = z^{n} + a_{1}z^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}z + a_{0} ein Polynom vom Grade n und z_{0} eine komplexe Zahl. Zeigen Sie:

(a) Sei r = ^{n} \sqrt{|f(z_{0})|}. Dann gibt es in |z − z_{0}| ≤ r mindestens eine Nullstelle von f.

(b) Sei f′(z_{0}) ≠ 0 und r = n|f(z_{0})/f′(z_{0})|. Dann gibt es in |z − z_{0}| ≤ r mindestens eine Nullstelle von f.