Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 6 , Abgabe: 05.12.1995 , 11.00 Uhr

Aufgabe 20: (4 Punkte) Zu lösen sei x^{2} − 2px − q = 0 für p = 1, q = 0.0002. Berechnen Sie die Lösungen x_{1}, x_{2} auf einem Rechner Ihrer Wahl nach der Formel

\begin{aligned}(a) & d & = & p^{2} + q & , & x_{1} & = & p + \sqrt{d} & , & x_{2} & = & p − \sqrt{d} \\ (b) & d & = & p^{2} + q & , & x_{1} & = & p + \sqrt{d} & , & x_{2} & = & q/x_{1} . \end{aligned}

Wie groß sind die relativen Fehler? Erklären Sie die unterschiedlichen Resultate.

Aufgabe 21: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß der Fixpunkt x aus Beispiel 2 in III.1.1 ein Marktgleichgewicht liefert.

Aufgabe 22: (4 Punkte)

(a) Schreiben Sie ein Programm zur Intervallhalbierung.

(b) Berechnen Sie die kleinste positive Lösung der Gleichung tan x = tanh x mit einer Genauigkeit von mindestens 1 %.

Aufgabe 23: (4 Punkte) Stellen Sie das Newton-Verfahren für f(x) = \frac{1}{x} − a auf und zeigen Sie, daß es für |1 − ax_{0}| < 1 konvergiert.