Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 4 , Abgabe: 21.11.1995 , 11.00 Uhr

Aufgabe 13: (4 Punkte) Bestimmen Sie die verallgemeinerte Inverse des dyadischen Produktes vu^{∗}, v, u ∈ K^{n}, ∥u∥_{2} = ∥v∥_{2} = 1.

Aufgabe 14: (4 Punkte) Sei A^{+} die verallgemeinerte Inverse der Matrix A. Zeigen Sie:

(i) AA^{+}A = A

(ii) Ist A eine normale (n, n)-Matrix, d.h. AA^{∗} = A^{∗}A, so gilt AA^{+} = A^{+}A.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Der Gezeitenwasserstand in der Nordsee werde in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) durch

H(t) = h + a sin \frac{2πt}{12} + b cos \frac{2πt}{12}

mit unbekannten Konstanten h, a, b beschrieben. Folgende Meßwerte liegen vor:

\begin{matrix}t | & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & Stunden \\ H(t) | & 1.0 & 1.6 & 1.4 & 0.6 & 0.2 & 0.8 & m \end{matrix}

Bestimmen Sie h, a, b aus dem überbestimmten Gleichungssystem H(t_{i}) = h_{i}, t_{i} = 0, 2, …, 10. Verwenden Sie dazu die Programme aus Aufgabe 12.

Aufgabe 16: (4 Punkte) Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem

x_{1} + x_{2} ≤ 10
5x_{1} + 7x_{2} ≤ 140
4x_{1} + x_{2} ≤ 20
x_{1}, x_{2} ≥ 0
z = 3x_{1} + 2x_{2}  maximal .

Ändern Sie die Zielfunktion so ab, daß es keine eindeutige Lösung gibt.