Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 2 , Abgabe: 07.11.1995 , 11.00 Uhr

Aufgabe 5: (4 Punkte) Die (n, n)-Matrix A besitze eine LR-Zerlegung mit ℓ_{ii} = 1, i = 1, …, n.

Zeigen Sie:

(a) L, R mit dieser Eigenschaft sind eindeutig bestimmt, falls A nicht singulär ist.

(b) Ist A nicht singulär und von Bandbreite m (d.h. a_{ij} = 0 für |i − j| > m), so gilt dies auch für L und R.

(c) Hat A obere Hessenberg-Form (d.h. a_{ij} = 0 für i − j > 1), und ist A nicht singulär, so kann man die LR-Zerlegung in \frac{1}{2}n^{2} + O(n) flops herstellen.

Aufgabe 6: (4 Punkte) Zeigen Sie:

∥A∥_{2} = ρ(A^{∗}A)^{1/2}, ∥A∥_{1} = \begin{matrix}Max \\ j \end{matrix} ∑_{i} |a_{ij}|

Aufgabe 7: (4 Punkte) Sei T eine reelle, symmetrische (n, n) Tridiagonalmatrix mit positiven Außerdiagonalelementen. Sei (u^{ℓ})_{ℓ=1,2,...} eine Folge von Vektoren mit

u^{ℓ+1} = T u^{ℓ} , u^{1} = ( 1 0 ⋮ 0 ) .

Zeigen sie, daß T durch die Zahlen g_{ℓ} = u_{1}^{ℓ}, ℓ = 1, …, 2n−1 , bis auf das (n, n)−Element, eindeutig bestimmt ist und geben Sie einen Algorithmus zur Berechnung von T an. \underline{Hinweis:} Betrachten Sie die (n, n)−Matrix U = (u^{1}, …, u^{n}) und zeigen Sie, daß man U durch Cholesky - Zerlegung einer geeigneten, aus den g_{ℓ} gebildeten Matrix G erhält.

Aufgabe 8: (4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm choldcmp (A, d, n) zur Cholesky - Zerlegung LL^{T} der reellen positiv definiten (n, n)−Matrix A . Nur der Platz in und oberhalb der Diagonalen von A muß besetzt werden. L findet sich unterhalb der Hauptdiagonalen und in d. Testen Sie Ihr Programm an der Hilbert-Matrix aus Aufgabe 4(a) mit n = 4.