Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 12 , Abgabe: 06.02.1996 , 11.00 Uhr

Aufgabe 43: (4 Punkte) Sei x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} und B_{i,k} der B-Spline der Ordnung k zu x_{i}, …, x_{i+k}. Sei

s(x) = ∑_{i=0}^{n−k} a_{i}B_{i,k}(x) , a_{−1} = a_{n−k+1} = 0 .

Zeigen Sie:

s′(x) = (k − 1) ∑_{i=0}^{n−k+1}(a_{i} − a_{i−1}) \frac{B′_{i,k}(x)}{x_{i+k−1} − x_{i}} .

Aufgabe 44: (4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm b-spline (k, x_{0}, …, x_{k}, x), welches den B-Spline der Ordnung k zu x_{0}, …, x_{k} an der Stelle x auswertet. Geben Sie eine graphische Darstellung von B_{0,k}, x_{i} = i, i = 0, …, k für k = 2, 3, 4.

Aufgabe 45: (4 Punkte) Berechnen Sie die Koeffizienten des Splines B_{0,3} für x_{i} = i, i = 0, …, 3.

Aufgabe 46: (4 Punkte) Sei (x_{i}) eine Unterteilung von IR^{1} mit x_{i} < x_{i+1} und x_{i} → ±∞ für i → ±∞. Zeigen Sie: Für k ≥ 1 gilt für alle x

∑_{i=−∞}^{+∞} B_{i,k}(x) = 1 .