Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 11 , Abgabe: 30.01.1996 , 11.00 Uhr

Aufgabe 40: (4 Punkte) Berechnen Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix W aus Satz 5.3.1.

Aufgabe 41: (4 Punkte) Seien f = (f_{0}, …, f_{n−1}) und g = (g_{0}, …, g_{n−1}) Vektoren aus IR^{n}, welche wir periodisch fortsetzen durch

f_{m·n+r} = f_{r} ∀ m ∈ ZZ 0 ≤ r < n ,

ebenso für g. Wir nennen Vektoren mit dieser Eigenschaft n-periodisch. Für n-periodische Vektoren e, h definieren wir

e · h durch (e · h)_{j} = e_{j}h_{j} ,
e ∗ h durch (e ∗ h)_{j} = \frac{1}{n} ∑_{ℓ=0}^{n−1} e_{j−ℓ}h_{ℓ} , die Faltung ,

und ê als n-periodische Fortsetzung der Fourier - Transformierten der Länge n von (e_{0}, …, e_{n−1}). Zeigen Sie, daß für die n-periodischen Vektoren gilt

f̂ ∗ g = f̂· ĝ .

Aufgabe 42: (4 Punkte) Sei

J_{n}(x) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} cos(x sin t − nt)dt = \frac{i^{−n}}{π} ∫_{0}^{π} e^{ix cos t} cos(nt)dt

die Besselsche Funktion 1. Art der Ordnung n.

(a) Zeigen Sie:

J_{n+1}(x) + J_{n−1}(x) = \frac{2n}{x}J_{n}(x) .

(b) Man entnimmt dem Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz-Stegun)

die Werte

\begin{aligned}J_{0}(10) & = & −0.24593576 \\ J_{1}(10) & = & 0.04347274 & . \end{aligned}

Benutzen Sie (a), um J_{n}(10), n = 2, …, 21 zu berechnen. Rechnen Sie mit einfacher Genauigkeit. Was beobachten Sie?

(c) Wieder dem Handbook entnimmt man

\begin{aligned}J_{21}(10) & = & 0.2907199e − 5 \\ J_{20}(10) & = & 0.1151337e − 4 . \end{aligned}

Benutzen Sie (a), um daraus J_{n}(10), n = 0, …, 19 zu berechnen. Rechnen Sie mit einfacher Genauigkeit.

Vergleichen Sie mit den Resultaten von (b).