Prof. Dr. F. Natterer WS 1995/96

Übungen zur Vorlesung NUMERISCHE MATHEMATIK I

Übungsblatt 10 , Abgabe: 23.01.1996 , 11.00 Uhr

Aufgabe 36: (4 Punkte) Sei für φ ∉ πZZ

u_{j} = \frac{1}{sin φ} ∑_{k=j}^{n−1} y_{k} sin (k − j + 1)φ , j = 0, …, n − 1
u_{n} = u_{n+1} = 0 .

Dann gilt

∑_{k=0}^{n−1} y_{k} cos kφ = y_{0} + cos φu_{1} − u_{2} .

Aufgabe 37: (4 Punkte) Seien x_{0}, …, x_{n} paarweise verschiedene Stützstellen und y_{0}, …, y_{n} zugehörige Stützwerte. Zeigen Sie: Ist σ_{0}, …, σ_{n} irgend eine Permutation der Zahlen 0, …, n, so ist

[y_{0}, …, y_{n}] = [y_{σ_{0}}, …, y_{σ_{n}}] .

Aufgabe 38: (4 Punkte) Seien x_{1}, …, x_{2n} reelle Zahlen.

(a) Zeigen Sie, daß

t(x) = ∏_{k=1}^{2n} sin \frac{x − x_{k}}{2}

ein trigonometrisches Polynom vom Grade n ist.

(b) Sei 0 ≤ x_{0} < x_{1} < … < x_{2n} < 2π. Zeigen Sie, daß das trigonometrische Polynom t vom Grade n mit t(x_{j}) = y_{j}, j = 0, …, 2n durch

t(x) = ∑_{j=0}^{2n} y_{j}t_{j}(x) ,

t_{j}(x) = \frac{w_{j}(x)}{w_{j}(x_{j})} , w_{j}(x) = ∏_{k=0, k≠j}^{2n} sin \frac{x − x_{k}}{2} .

gegeben ist.

Aufgabe 39: (4 Punkte) Schreiben Sie ein rekursives Programm fft(y, n, sign) zur schnellen Fourier - Transformation der Länge n = 2^{k}. Für sign = −1 soll die direkte, für sign = +1 die inverse Transformation durchgeführt werden. Prüfen Sie nach, ob Ihr Programm für einige Folgen komplexer Zahlen y_{0}, …, y_{n−1} nach den Aufrufen fft(y, n, −1), fft(y, n, +1) wieder die ursprüngliche Folge liefert.