Prof. Dr. F. Natterer WS 2001/02

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 9 , Abgabe: 21.12.2001 , 13.00 Uhr, Übungskasten F17, F25, F29

Die Programmieraufgabe 36 darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 33: (4 Punkte) Sei A_{1} die (n, n)−Tridiagonalmatrix mit

a_{ii} = a_{i} , i = 1, …, n , a_{i,i+1} = b_{i} , a_{i+1,i} = c_{i} , i = 1, …, n − 1 .

Zeigen Sie, daß für das charakteristische Polynom P_{n}(λ) von A_{n} die Rekursion

P_{n} = (λ − a_{n})P_{n−1} − b_{n−1}c_{n−1}P_{n−2} , n = 2, 3, …,

erfüllt ist.

\underline{Hinweis:} Entwickeln Sie det(λI − A_{n}) nach der letzten Zeile, und die verbleibende Determinante nach der letzten Spalte. Am besten machen Sie sich die Sache zunächst für n = 4 klar.

Aufgabe 34: (4 Punkte) Sei H = (h_{ij}) eine Hessenbergmatrix und H = QR, R = (r_{ij}), ihre QR-Zerlegung. Zeigen Sie: |r_{ii}| ≥ |h_{i+1,i}|, i = 1, …, n − 1.

Aufgabe 35: (4 Punkte) Seien λ_{1}, …, λ_{n} die Eigenwerte der reellsymmetrischen Matrix A, und sei A = QR die QR-Zerlegung von A, R = (r_{ij}). Dann gilt

|r_{nn}| ≥ min_{j=1,...,n} |λ_{j}| .

Aufgabe 36: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Erstellen Sie ein Programm für den QR-Algorithmus.