Prof. Dr. F. Natterer WS 2001/02

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 7 , Abgabe: 07.12.2001 , 13.00 Uhr, Übungskasten F17, F25, F29

Die Programmieraufgabe 28 darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 25: (4 Punkte) Die Inversion der (n, n)-Matrix A ist gleichbedeutend mit der Lösung des nichtlinearen Systems

F (X) = X^{−1} − A = 0 .

Stellen Sie das Newton-Verfahren zur Lösung von F (X) = 0 auf und zeigen Sie, daß ein Schritt des Newton - Verfahrens durch zwei Matrix - Multiplikationen und weitere n Additionen ausgeführt werden kann.

Aufgabe 26: (4 Punkte) Sei A eine positiv definite (n, n)-Matrix. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte positiv definite Quadratwurzel X = \sqrt{A} von A, d.h. X ist positiv definit und X^{2} = A. Zeigen Sie: Das Newton-Verfahren für das nichtlineare System X^{2} = A von n(n + 1)/2 Unbekannten in n(n + 1)/2 Variablen x_{ij}, i > j, lautet

X^{k+1} = \frac{1}{2} (X^{k} + (X^{k})^{−1}A) .

Tip: Die zu berechnende Matrix X ist offenbar invertierbar und kommutiert mit A. Gehen Sie deshalb von Startmatrizen X^{(0)} aus, die neben der Symmetrie ebenfalls diese Eigenschaften haben.

Aufgabe 27: (4 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}1 & a \\ 1/2 & 1 \end{matrix} ).

Man zeige für das Gesamtschritt- und das Einzelschrittverfahren: Das Verfahren zur Lösung von Ax = b konvergiert genau dann für alle b und alle Startwerte x_{0}, wenn |a| < 2.

Aufgabe 28: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Lösen Sie das Gleichungssystem (n = 10)

4u_{ij} − u_{i+1,j} − u_{i−1,j} − u_{i,j+1} − u_{i,j−1} = h^{2} ; i, j = 1, …, n − 1, h = 1/n
u_{ij} = 0 falls i ∈ {0, n} oder j ∈ {0, n}

durch das SOR–Verfahren mit ω = 1 und ω = 1.53.