Prof. Dr. F. Natterer WS 2001/02

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 6 , Abgabe: 30.11.2001 , 13.00 Uhr, Übungskasten F17, F25, F29

Die Programmieraufgabe 24 darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 21: (4 Punkte) Sei f : IR^{n} → IR^{n} stetig differenzierbar, f(\overline{x}) = 0, f′(\overline{x}) invertierbar. Zeigen Sie: Es gibt eine Umgebung D von \overline{x}, so daß das vereinfachte Newton-Verfahren für jedes x^{0} ∈ D gegen \overline{x} konvergiert.

Aufgabe 22: (4 Punkte) Sei A eine (n, n)−Matrix. Das Eigenwertproblem Ax = λx ist äquivalent zu dem nichtlinearen Gleichungssystem

Ax − λx = 0 , ∥x∥_{2}^{2} − 1 = 0

von n + 1 Gleichungen in den n + 1 Unbekannten x_{1}, …, x_{n}, λ.

(a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix dieses Gleichungssystems und stellen Sie das Newton-Verfahren auf.

(b) Zeigen Sie: Ist λ ein algebraisch einfacher Eigenwert von A und sind die Startwerte λ^{0}, x^{0} hinreichend nahe bei λ, x gewählt, so konvergiert das Newton-Verfahren quadratisch gegen λ, x.

Aufgabe 23: (4 Punkte) Stellen Sie das Newton-Verfahren für f(x) = \frac{1}{x} − a auf und zeigen Sie, daß es für |1 − ax_{0}| < 1 konvergiert.

Aufgabe 24: (Programmieraufgabe, 4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm für das Newton-Verfahren für das System

f_{1}(x_{1}, x_{2}) = 0
f_{2}(x_{1}, x_{2}) = 0

und testen Sie es für das Problem

x_{1} − sin(x_{2} + e^{x_{1}}) = 0
x_{2} − cos(x_{1} − e^{x_{2}}) = 0 .