Prof. Dr. F. Natterer WS 2001/02

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 5 , Abgabe: 23.11.2001 , 13.00 Uhr, Übungskasten F17, F25, F29

Die Programmieraufgabe 20 darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 17: (4 Punkte) Bestimmen Sie die verallgemeinerte Inverse des dyadischen Produktes vu^{∗}, v, u ∈ K^{n}, ∥u∥_{2} = ∥v∥_{2} = 1.

Aufgabe 18: (4 Punkte) Sei A^{+} die verallgemeinerte Inverse der Matrix A. Zeigen Sie:

(i) AA^{+}A = A

(ii) Ist A eine normale (n, n)-Matrix, d.h. AA^{∗} = A^{∗}A, so gilt AA^{+} = A^{+}A.

Aufgabe 19: (4 Punkte) Der Gezeitenwasserstand in der Nordsee werde in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) durch

H(t) = h + a sin \frac{2πt}{12} + b cos \frac{2πt}{12}

mit unbekannten Konstanten h, a, b beschrieben. Folgende Meßwerte liegen vor:

\begin{matrix}t | & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & Stunden \\ H(t) | & 1.0 & 1.6 & 1.4 & 0.6 & 0.2 & 0.8 & m \end{matrix}

Bestimmen Sie h, a, b aus dem überbestimmten Gleichungssystem H(t_{i}) = h_{i}, t_{i} = 0, 2, …, 10.

Verwenden Sie dazu die Programme aus Aufgabe 16.

Aufgabe 20: (Programmieraufgabe, 4 Punkte)

(a) Schreiben Sie ein Programm zur Intervallhalbierung.

(b) Berechnen Sie die kleinste positive Lösung der Gleichung tan x = tanh x mit einer Genauigkeit von mindestens 1 %.