Prof. Dr. F. Natterer WS 2001/02

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 2 , Abgabe: 02.11.2001 , 13.00 Uhr, Übungskasten F17, F25, F29

Die Programmieraufgabe 8 darf eine Woche später abgegeben werden.

Aufgabe 5: (4 Punkte) Sei A eine (n, n)-Matrix und B eine (m, m)-Matrix. Wir betrachten das lineare System

∑_{j=1}^{n} ∑_{ℓ=1}^{m} a_{ij}b_{kℓ}x_{jℓ} = c_{ik} , i = 1, …, n , k = 1, …, m .

Zeigen Sie:

(a) Das lineare System ist genau dann eindeutig lösbar, wenn det(A) det(B) ≠ 0 gilt.

(b) Die Lösung des Gleichungssystems ist mit

\frac{1}{3}(n^{3} + m^{3}) + (nm^{2} + mn^{2}) + O(n^{2} + m^{2})

flops möglich.

Aufgabe 6: (4 Punkte) Die (n, n)-Matrix A heißt tridiagonal, falls a_{i,j} = 0 für |i − j| > 1. Zeigen Sie, daß sich das Eliminationsverfahren ohne Pivotisierung zur Lösung von Ax = b mit

5n − 4

flops durchführen läßt.

Aufgabe 7: (4 Punkte) Die (n, n)-Matrix A heißt symmetrisch, wenn a_{ij} = a_{ji}, i, j = 1, …, n. Zeigen Sie, daß sich das Eliminationsverfahren ohne Pivotsuche zur Lösung von Ax = b in \frac{1}{6}n^{3} + O(n^{2}) flops durchführen läßt.

Aufgabe 8: (Programmieraufgabe) Schreiben Sie ein Programm elim(A, b, x, n) für das Eliminationsverfahren mit Spaltenpivotsuche zur Lösung von Ax = b. Testen Sie Ihr Programm an Hand folgender Beispiele:

(a) a_{ij} = 1/(i + j − 1), i, j = 1, …, n. Bestimmen Sie b so, daß x_{i} = 1, i = 1, …, n Lösung wird.

(b) Wie (a), aber a_{ii} = 1, i = 1, …, n.

Sei x̃ die berechnete Lösung. Berechnen Sie in jedem Falle Ax̃ − b. Wählen Sie n = 8.