Prof. Dr. F. Natterer WS 2001/02

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 11 , Abgabe: 18.01.2002 , 13.00 Uhr, Übungskasten F17, F25, F29

Aufgabe 41: (4 Punkte) Seien folgende Stützstellen und Stützwerte gegeben

\begin{matrix}i & x_{i} & y_{i} \\ 0 & −1 & −1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 11 \\ 3 & 3 & 27 \end{matrix}

Sei p_{3} das zugehörige Interpolationspolynom vom Grad 3.

(a) Berechnen Sie p_{3} durch die Methode von Lagrange.

(b) Berechnen Sie p_{3} durch die Methode von Newton.

(c) Berechnen Sie p_{3}(1) durch die Methode von Neville.

Aufgabe 42: (4 Punkte) Sei x_{j} = j , j = 0, …, n, und sei ω_{j}(x) der Koeffizient des j−ten Stützwertes in der Lagrange’schen Form des Interpolationspolynoms zu diesen Stützstellen. Zeigen Sie: Für gerades n gilt:

ω_{n/2} (\frac{1}{2}) = O(2^{n}) , n → ∞ .

Aufgabe 43: (4 Punkte) Seien x_{0}, …, x_{m} paarweise verschiedene komplexe Zahlen und n_{0}, …, n_{m} ganze Zahlen > 0. Sei n = n_{0} + … + n_{m}. Zeigen Sie: Sind y_{jk}, 0 ≤ k < n_{j}, j = 0, …, m beliebige komplexe Zahlen, so gibt es genau ein Polynom p vom Grade ≤ n − 1 mit

p^{(k)}(x_{j}) = y_{jk} , 0 ≤ k < n_{j} , j = 0, …, m .

Aufgabe 44: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{(n+2)}[a, b], x_{0}, …, x_{n} ∈ [a, b] paarweise verschieden und p ∈ P_{n} das Interpolationspolynom von f an den Stützstellen x_{0}, …, x_{n}, d.h. p(x_{j}) = f(x_{j}), j = 0, …, n. Zeigen Sie: Zu jedem j existiert x̃_{j} ∈ [a, b] mit

f′(x_{j}) − p′(x_{j}) = ∏_{i≠j}(x_{j} − x_{i})\frac{f^{(n+1)}(x̃_{j})}{(n + 1)!} .