Prof. Dr. F. Natterer WS 2001/02

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 1 , Abgabe: 26.10.2001 , 13.00 Uhr, Übungskasten F17, F25, F29

Aufgabe 1: (4 Punkte) Lösen Sie die Gleichung

y^{2} + 1.3y + c = 0

mit c = 0.422498 und c = 0.422497. Vergleichen Sie die Resultate und erklären Sie das Ergebnis durch die Verstärkungsfaktoren.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Sei rd eine Rundung und x ≠ 0. Zeigen Sie:

1.

|\frac{rd(x) − x}{rd(x)}| ≤ eps .

2. Es gibt ein ρ ∈ IR mit |ℓnρ| ≤ eps, so daß

rd(x) = ρx .

\underline{Hinweis:} Für x ∈ IR gilt 1 + x ≤ e^{x}.

Aufgabe 3: (4 Punkte) Berechnen Sie mit einem Rechner Ihrer Wahl die Funktion

f(x) = \frac{1 − cos x}{x^{2}}

für x = 0.1, 0.01, 0.001. Was beobachten Sie? Haben Sie eine Erklärung?

Aufgabe 4: (4 Punkte) Sei x_{n} = 3^{−n}.

(a) Zeigen Sie: x_{n} = \frac{10}{3}x_{n−1} − x_{n−2}, x_{0} = 1, x_{1} = 1/3

(b) Berechnen Sie x_{n} nach der Formel (a) für n = 1, …, 20 mit einem Rechner Ihrer Wahl. Was beobachten Sie? Haben Sie eine Erklärung?