Thema
Als Inverse Probleme bezeichnet man Probleme, wo aus indirekten
Messungen gewisse Grössen in
mathematischen Modellen berechnet werden sollen. Beispiele dafür
sind die Bestimmung von
Wärmeleitfähigkeiten (etwa von Metall in Hochöfen) durch
Messungen der Temperatur am Rand
eines Körpers, die Bestimmung der Volatilität von Aktien
durch Beobachtung von
Optionspreisen, oder die Rekonstruktion medizinischer Bilder bei der
Computertomographie.
Wegen der indirekten Messung sind diese inversen Probleme meist
schlecht gestellt, d.h. beliebig
kleine Fehler in den Daten können zu beliebig großen
Abweichungen in der Lösung führen. Da
man in der Realität immer Datenfehler bei den Messungen
erhält, ist dies ein ernstes Problem,
und es werden spezielle mathematische Techniken, sogenannte
Regularisierungsmethoden zur
stabilen Approximation der Lösung benötigt. Darüber
hinaus bieten inverse Probleme in diversen
Anwendungen auch einige andere Herausforderungen wie z.B. die
numerische Lösung und oft
riesige Datenmengen mit wenig Informationsgehalt.
Diese Vorlesung soll einen Einblick in die Theorie und Praxis inverser
Probleme geben und ist
auch zur Vorbereitung für mögliche Diplomarbeiten auf diesem
Gebiet geeignet. Der erste Teil
der Vorlesung wird sich der Theorie und Regularisierung von schlecht
gestellten inversen
Problemen widmen, im zweiten Teil werden numerische Methoden und
Anwendungen, vor allem
auf inverse Probleme bei partiellen Differentialgleichungen diskutiert.
Literatur:
M.Burger,
Lecture Notes on Inverse Problems
H.W.Engl, M.Hanke, A.Neubauer, Regularization of Inverse Problems,
Kluwer, 1996 /2000.
A.Kirsch, An introduction to the mathematical theory of inverse
problems, Springer, 1996.
F.Natterer,
Imaging and Inverse Problems of Partial Differential Equations
F.Natterer,
Vorlesungsskript Inverse Probleme
Pdf-Version
der
Ankündigung
