| Dozenten: |
 Prof. Dr. Caterina Zeppieri,
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| Dr. Jan-Frederik Pietschmann,
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| Zeit, Ort: |
Dienstag, 14:00 - 16:00 Uhr, Orléans-Ring 12 - SRZ 205
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Vorbesprechung:
| Die Vorbesprechung für das Seminar findet am Montag, den 11. Juli 2016 um 12:00 in Raum 120.029 (Institut für Numerische und Angewandte Mathematik, Orleans-Ring 10, zweite Etage) statt.
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| Voraussetzungen: |
Vorkenntnisse zu Partiellen Differentialgleichungen z.B aus der Vorlesung Partielle Differentialgleichungen
oder Differentialgleichungen und Funktionalanalysis sind hilfreich.
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| Inhalt: |
In vielen Bereichen der Mechanik, Physik oder den Ingenieurwissenschaften spielen zusammengesetzte Materialien, das heißt Materialien, die aus verschiedenen Komponenten bestehen, eine wichtige Rolle. Typischerweise sind die physikalischen Parameter eines solchen Materials unstetig und wechseln von Komponente zu Komponente. Ist die Zusammensetzung des Materials nun sehr fein, das heißt wechseln die Komponenten des Materials auf einer feinen Skala $\varepsilon>0$, so führt dies zu schnellen Oszillationen in den entsprechenden physikalischen Parametern, was die Mikrostruktur des Materials sehr kompliziert werden lässt. Im Rahmen der Homogenisierung versucht man daher, die Struktur durch ein geeignetes homogenes Modell zu approximieren, das nicht mehr von $\varepsilon$ abhängt. Genauer gesagt möchte man das Verhalten von (Folgen von) partiellen Differentialgleichungen, die von einem kleinen Parameter $\varepsilon>0$ abhängen, analysieren, wenn $\varepsilon$ gegen Null geht. Ein typisches Beispiel hierür ist das elliptische Randwertproblem
\begin{equation}\tag{$P_\varepsilon$}\label{problem}
\begin{array}{rlr}
-\mathrm{div}\left(A\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\nabla u_\varepsilon\right) &=f &\text{in}\ \Omega\\
u_\epsilon &=0 &\text{auf}\ \partial\Omega
\end{array}
\end{equation}
wobei wir annehmen, dass $A$ periodisch ist. Im Rahmen des Seminars werden wir das Verhalten des Randwertproblemes \eqref{problem} im Grenzwert $\varepsilon\to 0$ analysieren sowie die Eigenschaften des entsprechenden Randwertproblemes, das wir im Limes $\varepsilon\to 0$ erhalten.
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