Prof. Dr. C. W. Cryer WS 98/99

Mathematische Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems

Übungsblatt 1 , Abgabe: 26.10.98 , 13.00 Uhr

Aufgabe 1: (4 Punkte) Das Ohmsche Gesetz

Q = \frac{ΔP}{R}

bestimmt das Verhältnis zwischen dem Fluß Q, dem Widerstand R und dem Druckunterschied ΔP. Für ein System mit n Komponenten R_{i}, zeigen Sie:

a) R = ∑_{i=1}^{n} R_{i} (Serienschaltung)

b) \frac{1}{R} = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} (Parallelschaltung)

Aufgabe 2: (4 Punkte) Man betrachte folgende Packung von ℝ^{2} mit Kreisen:

und zeigt, daß die Dichte ρ der Packung,

ρ := \frac{Durchschnittsoberfläche gedeckt durch Kreise}{Gesamtoberfläche}

durch ρ = \frac{π}{\sqrt{12}} gegeben ist (Lagrange 1773). Literatur: Rogers, C.A.: Packing and Covering. Cambridge, 1964 Aufgabe 3: (4 Punkte) Der normale menschliche Erythrocyte (rote Blutzelle) hat folgende Dimensionen: Diameter: 8, 3μm Dicke: 2, 4μm Volumen: 84μm^{3}

Der Anteil der Erythrocyten am Blutvolumen wird Hämatokrit genannt.

a) Zeigen Sie, mit Hilfe der Aufgabe 2, daß der Hämatokritwert maximal etwa 58% sein kann. (Bei normalen Männern beträgt der Hämatokritwert etwa 44%, bei Frauen etwa 39%.)

b) Bei einem kranken Menschen kann der Wert 70% erreichen - wie kann man dies erklären?

Aufgabe 4: (4 Punkte) Eine newtonische Flüssigkeit (Blut?) fließt stetig durch ein langes Rohr mit dem Querschnitt Q ∈ ℝ^{2}. Die Navier-Stokes Gleichungen sind:

\begin{aligned}u_{t} + uu_{x} + vu_{y} + wu_{z} & = & −\frac{1}{ρ}p_{x} + ν∇^{2}u \\ v_{t} + uv_{x} + vv_{y} + wv_{z} & = & −\frac{1}{ρ}p_{y} + ν∇^{2}v \\ w_{t} + uw_{x} + vw_{y} + ww_{z} & = & −\frac{1}{ρ}p_{z} + ν∇^{2}w \end{aligned}

\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} = ρ_{t}

Man nimmt an:

1. Rohr = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Q, z ∈ ℝ}

2. u = v = 0 (keine Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur z-Achse des Rohres)

3. konstante Dichte ρ

4. w = 0 für (x, y) ∈ ∂Q (die Flüssigkeit haftet am Rande des Rohres).

5. Quadratische Terme, etwa wu_{x}, sind vernachlassbar klein.

Man zeigt, Hagen-Poiseuillesche Gesetz (Poiseuille Strömung):

a) p(x, y, z) = p_{0} − P z, p_{0} und P konstant

b) w(x, y, z) = ψ_{(}x, y) − \frac{P}{4μ}(x^{2} + y^{2})

mit

\begin{aligned}∇^{2}ψ & = & 0 in Q \\ ψ & = & \frac{P}{4μ}(x^{2} + y^{2}), (x, y) ∈ ∂Q \end{aligned}

c) Ist Q ein Kreis mit Radius c, so gilt: i) w = \frac{2P c^{2}}{8μ} (1 − \frac{r^{2}}{c^{2}} ), r^{2} := x^{2} + y^{2} ii) R = \frac{πc^{4}}{8μ} P, wo R das Durchflußvolumen pro Zeiteinheit bezeichnet.