Aufgabe 1:

a) Bestimmen Sie die inverse Matrix von

H = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −a & 1 & 0 \\ −b & −c & 1 \end{matrix} ) .

b) Prüfen Sie die Konvergenz von Gesamt– und Einzelschrittverfahren zur Lösung des Gleichungssystems Ax = b für b ∈ IR^{n} und

A = ( \begin{matrix}1 & −2 & 2 \\ −1 & 1 & −1 \\ −2 & −2 & 1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 2:

a) Führen Sie einen Schritt des QR-Verfahrens zur Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix durch für die Matrix

A = ( \begin{matrix}4 & 4 & 0 \\ 3 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix} ) .

b) Nehmen Sie an, dass alle Eigenwerte von A reell sind. Geben Sie für diesen Fall eine Abschätzung für den kleinsten Eigenwert von A an. Hinweis: Benutzen Sie die erste QR–Iterierte.

Aufgabe 3:

Sei a = (a_{0}, …, a_{n−1}) ein Vektor aus dem IR^{n}. Die Kosinus–Transformation â von a, â = (â_{0}, …, â_{n−1}) ist definiert durch

â_{l} = ∑_{k=0}^{n−1} a_{k} cos(πkl/n).

Zeigen Sie: Die Kosinustransformation kann in O(n log n) Rechenoperationen berechnet werden. Ist die Kosinustransformation invertierbar?

Aufgabe 4:

Sei w(x) = x^{2} und x_{k} = −1 + 2k/(n − 1), k = 0..n − 1. Bestimmen Sie für n = 4 eine Integrationsformel der Form

Ĩ(f) = ∑_{k=0}^{n−1} A_{k}f(x_{k})

so daß Polynome vom Grad ≤ 3 auf dem Intervall [0, 1] mit der Gewichtsfunktion w(x) exakt integriert werden.

Aufgabe 5:

Sei A eine reelle (n, m)–Matrix.

a) Es seien x_{1} und x_{2} zwei Lösungen der Gaussschen Normalgleichung zu A. Zeigen Sie: Es gilt Ax_{1} = Ax_{2}.

b) Die Zeilen von A bilden ein Orthonormalsystem. Zeigen Sie: A^{+} = A^{∗}.

c) Sei A die (n, m)–Nullmatrix. Berechnen Sie A^{+}.

Aufgabe 6:

Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsformel für B–Splines den Wert von B_{0,3}(3/2).

Viel Spaß!