Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 7 , Abgabe: 17.12.2002 , 11.00 Uhr

Aufgabe 29: (4 Punkte) Auf der Homepage der Vorlesung finden Sie bei den Übungsaufgaben einen Link auf die Datei “C.matrix” (oder alternativ auf den Rechnern des Fachbereichs unter /u/wuebbel/C.matrix). Die Datei enthält eine 80x80-Matrix C, die ausschliesslich reelle Eigenwerte hat, die vom Betrag getrennt sind. Führen Sie an der Matrix folgende Berechnungen durch:

(a) Schätzen Sie den Betrag des betragsgrößten Eigenwerts von C ab.

(b) Berechnen Sie eine Näherung für den größten Eigenwert von C.

(c) Berechnen Sie eine Näherung für den kleinsten Eigenwert von C.

(d) Berechnen Sie eine Näherung für den betragskleinsten Eigenwert von C.

(e) Berechnen Sie eine Näherung für den Eigenwert von C, der am nächsten an −10 liegt.

Aufgabe 30: (4 Punkte) Programmieren Sie den LR-Algorithmus und testen Sie ihn an der Matrix C aus der vorherigen Aufgabe. Geben Sie nach jedem Schritt die Summe der Beträge der Elemente der Iterationsmatrix unterhalb der Hauptdiagonalen aus. Falls Sie mit Matlab programmieren: Sie dürfen die sparse-Funktion LU benutzen (siehe Matlab–Hilfe). Programmieren Sie in diesem Fall aber zusätzlich auch den QR-Algorithmus und testen Sie wieder an der Matrix C. Vergleichen Sie die Approximationen nach 100 Schritten der Algorithmen. Plotten Sie die Beträge der Iterationsmatrizen mit imagesc.

Aufgabe 31: (4 Punkte) Sei A eine reelle n × n–Matrix. Die erste Spalte von A sei (α, a_{1}^{t})^{t} mit einer reellen Zahl α und einem Vektor a_{1} der Länge n − 1.

(a) Bestimmen Sie eine Spiegelung S′ im IR^{n−1}, so dass

S′a_{1} = ||a_{1}||e_{1}.

(b) Sei S eine n × n–Matrix,

S = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & S′ \end{matrix} ) .

Zeigen Sie: B = SAS^{−1} erfüllt B_{k,1} = 0 für k > 2.

(c) Formulieren Sie einen Algorithmus, der zu jeder Matrix A eine Hessenbergmatrix H berechnet, die zu A ähnlich ist. Was gilt, wenn A symmetrisch ist?

Aufgabe 32: (4 Punkte) Geben Sie eine Erweiterung des QR-Algorithmus an, der die Eigenvektoren einer Matrix mit n unterschiedlichen Eigenwerten berechnet. Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Eigenvektoren einer Dreiecksmatrix.