Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 6 , Abgabe: 3.12.2002 , 11.00 Uhr

Aufgabe 21: (4 Punkte) Sei A eine reelle n × n–Matrix. Stellen Sie das Newton–Verfahren auf für das nichtlineare Gleichungssystem

F (X) = X^{−1} − A = 0.

Berechnen Sie die Komplexität eines Newton–Schritts. Ist das Verfahren konkurrenzfähig?

Aufgabe 22: (4 Punkte) Sei

A = ( \begin{matrix}1 & a \\ 1/2 & 1 \end{matrix} ) .

Bestimmen Sie die Menge aller a ∈ IR, so daß

(a) das Gesamtschrittverfahren

(b) das Einzelschrittverfahren zur Lösung von Ax = b für alle b ∈ IR^{2} und alle Startwerte x_{0} ∈ IR^{2} konvergiert.

Aufgabe 23: (4 Punkte) Sei

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ −2 & 2 & −2 \\ −1 & 1 & 2 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , x_{0} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

(a) Führen Sie jeweils drei Schritte des Jacobi– und des Gauss–Seidel–Verfahrens durch.

(b) Führen Sie (a) durch für den Relaxationsparameter ω = 0.5. Wählen Sie SOR als Relaxation des Gauss–Seidel–Verfahrens.

(c) Stellen Sie jeweils fest, ob die Verfahren konvergieren. Hinweis: Es ist Ihnen freigestellt, diese Aufgabe von Hand oder mit dem Rechner zu lösen.

Aufgabe 24: (4 Punkte) Bestimmen Sie die Menge aller invertierbaren reellen n × n-Matrizen, für die das Gauss– Seidel–Verfahren ausgehend vom Startwert x_{0} = 0 für jedes b ∈ IR^{n} im ersten Schritt die Lösung von Ax = b liefert.