Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 4 , Abgabe: 26.11.2002 , 11.00 Uhr

Aufgabe 13: (4 Punkte) Es seien f_{i,l}, i = 1 … n, l = 1 … m, stetige Funktionen vom IR^{n} nach IR. Weiter gelte f_{i,l}(λx) = f_{i,l}(x) für alle λ > 0, und es sei ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{i,l}(x) = 0 für alle x ∈ IR^{n}. Zeigen Sie: Dann gibt es ein x ∈ IR^{n}, x_{i} ≥ 0, x ≠ 0, mit

∑_{l=1}^{m} f_{i,l}(x) ≤ 0, i = 1 … m,

und

∑_{l=1}^{m} f_{i,l}(x) = 0 falls x_{i} > 0.

Hinweise werden in den Übungen gegeben.

Aufgabe 14: (4 Punkte) Zeigen Sie, dass das Newton–Verfahren für die Funktion f(x) = a − 1/x für jedes x_{0} mit |1 − ax_{0}| < 1 konvergiert.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Sei f : IR^{n} ↦ IR^{n} stetig differenzierbar, f(\overline{x}) = 0, und f′(\overline{x}) invertierbar. Zeigen Sie: Es gibt eine Umgebung D von \overline{x}, so dass das vereinfachte Newton–Verfahren für jedes x_{0} aus D gegen \overline{x} konvergiert.

Aufgabe 16: (4 Punkte) Sei A eine (n × n)–Matrix. Das Eigenwertproblem Ax = λx ist äquivalent zu dem nichtlinearen Gleichungssystem

Ax − λx = 0, ||x||_{2}^{2} − 1 = 0.

(a) Stellen Sie das zugehörige Newton–Verfahren auf.

(b) Zeigen Sie: Ist λ ein algebraisch einfacher Eigenwert von A (d.h., λ ist einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A), so konvergiert das Newtonverfahren quadratisch, falls λ_{0} und x_{0} nah genug an einem Eigenwert λ mit normiertem Eigenvektor |x| liegen.