Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 4 , Abgabe: 19.11.2002 , 11.00 Uhr

Aufgabe 13: (4 Punkte) Zeigen Sie: Für die der euklidischen Norm im IR^{n} zugeordnete Matrixnorm || · ||_{2} einer n × n–Matrix A gilt

||A||_{2} = max_{k=1}^{n} \sqrt{λ_{k}}.

λ_{k} sind die Eigenwerte von A^{t}A. Benutzen Sie den Satz: Für jede symmetrische n × n–Matrix B gibt es eine n × n– Diagonalmatrix D und eine unitäre n×n–Matrix U, so daß B = U^{−1}DU. Auf der Hauptdiagonalen von D stehen die Eigenwerte von B.

Aufgabe 14: (6 Punkte) Sei A eine n × m–Matrix, nicht notwendig mit vollem Rang. Zeigen Sie:

(a) AA^{+}A = A

(b) A^{+}AA^{+} = A^{+}

(c) Ist A eine normale n × n–Matrix, d.h. AA^{t} = A^{t}A, so gilt AA^{+} = A^{+}A.

(d) Seien u und v Elemente des IR^{n}, ||u||_{2} = ||v||_{2} = 1. Berechnen Sie die Moore–Penrose– Inverse der Matrix uv^{t}.

Aufgabe 15: (3 Punkte)

Es soll das lineare (2 × 2)–Gleichungssystem Ax = b gelöst werden. Für A und b stehen die Näherungen

Ã = ( \begin{matrix}3 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} ) , b̃ = ( \begin{matrix}6 \\ 3 \end{matrix} )

zur Verfügung. Es ist bekannt, dass der relative Fehler jedes Eintrags in Matrix und Vektor maximal 1 Prozent beträgt.

(a) Zeigen Sie: A ist invertierbar.

(b) Berechnen Sie die Lösung x̃ von Ãx̃ = b̃. Schätzen Sie den relativen Fehler von x̃ bezogen auf x in einer passenden Norm ab.

(c) Berechnen Sie die Kondition von Ã in der 1–Norm, in der euklidischen Norm und in der ∞–Norm.

Aufgabe 16: (3 Punkte)

Eine Messreihe, bei der ein linearer Zusammenhang zwischen den Größen t und y vermutet wird, liefert folgende Ergebnisse:

\begin{matrix}t_{k} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 \\ y_{k} & 2.2427 & 4.1944 & 4.3565 & 6.3048 & 8.1826 & 8.0074 \end{matrix}

Bestimmen Sie eine lineare Funktion y(t) = at + b so, dass der Fehler

∑_{k=1}^{6}(y(t_{k}) − y_{k})^{2}

minimal wird unter allen linearen Funktionen. Zeichnen Sie die Messpunkte und die Funktion (per Hand oder per Rechner).