Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 2 , Abgabe: 5.11.2002 , 11.00 Uhr

Aufgabe 5: (4 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß die Inverse einer linken unteren Dreiecksmatrix der Größe n × n in n^{3}/6 + O(n^{2}) Operationen berechnet werden kann (falls sie existiert). Hinweis: Lösen Sie das Gleichungssystem LX = I.

(b) Folgern Sie, daß die Inverse einer beliebigen invertierbaren n × n–Matrix L in n^{3} + O(n^{2}) Operationen berechnet werden kann.

Aufgabe 6: (4 Punkte) Formulieren Sie den in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus zur direkten Berechnung der Cholesky–Zerlegung exakt und programmieren Sie ihn. Testen Sie den Algorithmus an den n × n–Matrizen A für n=100, 200, 300:

A_{i,k} = \{ \begin{matrix}2, & i = k \\ −1, & i = k + 1 \\ −1, & i = k − 1 \\ 0, & sonst. \end{matrix}

Geben Sie die Norm von A − LL^{t}, L die Cholesky–Zerlegung, aus.

Aufgabe 7: (4 Punkte) Die invertierbare n×n–Matrix A besitze eine normierte LR–Zerlegung mit L_{ii} = 1. Zeigen Sie:

(a) Falls A die Bandbreite m hat, d.h. A_{i,k} = 0 für |i − k| > m, so haben auch L und R Bandbreite m.

(b) Die LR–Zerlegung von A ist mit nm^{2} + O(nm) Operationen und n Divisionen berechenbar.

(c) Die LR–Zerlegung der Matrizen aus Aufgabe 6 ist mit n Operationen und n Divisionen berechenbar.

Aufgabe 8: (4 Punkte) Bestimmen Sie von Hand die Cholesky–Zerlegung von A und lösen Sie Ax = b:

A = ( \begin{matrix}4 & 6 & 10 \\ 6 & 13 & 13 \\ 10 & 13 & 27 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}6 \\ 19 \\ 9 \end{matrix} ) .