Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 1 , Abgabe: 29.10.2002 , 11.00 Uhr

Aufgabe 1: (4 Punkte)

1. Sei f : IR ↦ IR eine Funktion. Sei x_{0} ∈ IR ≠ 0. Zeigen Sie: In jeder Maschinenarithmetik gilt

lim_{h↦0} \frac{f(x_{0} ⊕ h) ⊖ f(x_{0}))}{h} = 0.

2. In der Vorlesung wurde die Funktion

ϵ(h) := |\frac{f(x_{0} ⊕ h) ⊖ f(x_{0})}{h} ⊖ f′(x_{0})|

für f(x) = cos x und x_{0} = 1 vorgestellt.

Erklären Sie, warum ϵ für h ↦ 0 zunächst abnimmt und dann größer wird. Was muss man tun, um den Unterschied zwischen der Ableitung und dem numerischen Differenzenquotienten möglichst klein zu halten?

Aufgabe 2: (4 Punkte) Programmieren Sie den Gauß–Algorithmus mit und ohne Spaltenpivotsuche. Lösen Sie als Beispiel das System

Ax = b, A ∈ IR^{nxn}, A_{i,k} = \frac{1}{i + k − 1}, b_{i} = ∑_{k} A_{i,k}

für n = 100, 200, 400 und messen Sie die benötigte Zeit. Schätzen Sie anhand der Komplexität des Gauß–Algorithmus ab, wie lange Ihr Programm zur Lösung des Problems aus der Vorlesung (n ∼ 10^{6}) benötigt. Aufgabe 3: (4 Punkte) Berechnen Sie die Lösung der quadratischen Gleichung

x^{2} + px + q = 0, p = 1, q = 10^{−4}

auf einem hypothetischen Rechenwerk mit b = 10 und m = 2 anhand der Formeln:

1. x_{1} = −p/2 − \sqrt{p^{2}/4 − q}, x_{2} = −p/2 + \sqrt{p^{2}/4 − q}

2. x_{1} = −p/2 − \sqrt{p^{2}/4 − q}, x_{2} = q/x_{1}

und erklären Sie das Ergebnis. Geben Sie die Verstärkungsfaktoren an. Aufgabe 4: (4 Punkte) Schätzen Sie die Komplexität der Berechnung einer Determinante anhand Ihrer Definition ab. Geben Sie einen effizienteren Algorithmus an, der mit n^{3}/3 + O(n^{2}) Operationen auskommt.