Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 14 , Abgabe: 4.2.2003 , 11.00 Uhr

Aufgabe 45: (4 Punkte) Es sei n_{i} die Bulirsch–Folge mit n_{1} = 1, n_{2i} = 2^{i} und n_{2i+1} = 3 · 2^{i−1}. Sei h_{i} = 1/n_{i}. Berechnen Sie mit Hilfe der Romberg–Idee aus den Werten T_{1}(h_{k}), k = 1 … 3, eine Integrationsformel mit der Genauigkeit h^{6}.

Aufgabe 46: (4 Punkte) Benutzen Sie eine Taylor–Entwicklung um 0, um das Integral

Si(1) = ∫_{0}^{1} \frac{sin t}{t}dt

mit einer Genauigkeit von 10^{−4} zu berechnen.

Aufgabe 47: (4 Punkte) Die offenen Newton–Cotes–Formeln erhält man durch Auswertung an den Stützstellen x_{k} = a + (k + 1)h, k = 0 … n, h = (b − a)/(n + 2), n >= 0. Berechnen Sie die Gewichte für n = 0, n = 1, n = 2.

Aufgabe 48: (4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm für die Romberg–Integration und testen Sie es für ∫_{0}^{1} exp(x)dx und ∫_{0}^{1} \sqrt{x}dx. Begründen Sie, warum im zweiten Fall keine guten Ergebnisse geliefert werden. Formulieren Sie eine Idee, wie man hier trotzdem zu guten Ergebnissen kommen kann. Hinweis: Unterteilen Sie das Intervall.