Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 11 , Abgabe: 28.1.2003 , 11.00 Uhr

Aufgabe 41: (4 Punkte) Seien a < b zwei reelle Zahlen, h = \frac{b−a}{n}, x_{k} = a + kh, k = 0...n, n > 0 gerade. Sei

w(x) = ∏_{k=0}^{n}(x − x_{k}).

Zeigen Sie: w(x_{n/2} − α) = −w(x_{n/2} + α).

Aufgabe 42: (4 Punkte)

a) Berechnen Sie die Newton–Cotes–Formel der Ordnung n = 6.

b) Zeigen Sie, dass für die Ordnung n = 8 negative Gewichte auftreten. Hinweis: Berechnen Sie das Gewicht der dritten Stützstelle. Begründen Sie, warum negative Gewichte numerisch bedenklich sind.

Aufgabe 43: (4 Punkte) Sei f(x) = sin x in [0, π/4]. Berechnen Sie das Polynom dritten Grades, das f(x) am besten bezüglich || · ||_{2} approximiert. Zeichnen Sie beide Funktionen.

Aufgabe 44: (4 Punkte) Seien a, b ∈ IR^{n}. Dann ist der Vektor c = (a ∗ b) ∈ IR^{n} definiert durch c_{k} = ∑_{j=0}^{n−1} a_{j}b_{k−j}, k = 1 … n, wobei b_{l} = b_{l+n} und a_{l} = a_{l+n} definiert ist. Zeigen Sie:

a) ĉ_{k} = nâ_{k}b̂_{k}

b) Sei n = 2^{m} für eine ganze Zahl m. Dann kann man c aus a und b in O(n log n) Rechenoperationen berechnen.