Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 10 , Abgabe: 14.1.2003 , 11.00 Uhr

Aufgabe 33: (4 Punkte) Die Tschebyscheff–Polynome sind für n ≥ 0 definiert durch

T_{n}(x) := cos(n arccos x).

a) Zeigen Sie für n ≥ 1:

T_{n+1}(x) = 2xT_{n}(x) − T_{n−1}(x).

b) 2^{−n}T_{n+1}(x) ist für n ≥ 0 Polynom vom Grade n + 1 mit Höchstkoeffizient 1.

c) T_{n} sind orthogonal bezüglich der Gewichtsfunktion \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} , d.h.

∫_{−1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} T_{n}(x)T_{m}(x)dx = 0 (m ≠ n).

Aufgabe 34: (4 Punkte)

a) Seien x_{0}, …, x_{m} paarweise verschiedene komplexe Zahlen und n_{0}, …, n_{m} ganze Zahlen > 0. Sei n = n_{0} + … + n_{m}. Zeigen Sie: Sind y_{jk}, 0 ≤ k < n_{j}, j = 0, …, m beliebige komplexe Zahlen, so gibt es genau ein Polynom p vom Grade ≤ n − 1 mit

p^{(k)}(x_{j}) = y_{jk} , 0 ≤ k < n_{j} , j = 0, …, m .

b) Seien x_{0}, …, x_{n} paarweise verschiedene Stützstellen und y_{0}, …, y_{n} zugehörige Stützwerte. Zeigen Sie: Ist σ_{0}, …, σ_{n} irgend eine Permutation der Zahlen 0, …, n, so ist

[y_{0}, …, y_{n}] = [y_{σ_{0}}, …, y_{σ_{n}}] .

Aufgabe 35: (4 Punkte) Sei f ∈ C^{(n+2)}[a, b], x_{0}, …, x_{n} ∈ [a, b] paarweise verschieden und p ∈ P_{n} das Interpolationspolynom von f an den Stützstellen x_{0}, …, x_{n}, d.h. p(x_{j}) = f(x_{j}), j = 0, …, n. Zeigen Sie: Zu jedem j existiert ein x̃_{j} ∈ [a, b] mit

f′(x_{j}) − p′(x_{j}) = ∏_{i≠j}(x_{j} − x_{i})\frac{f^{(n+1)}(x̃_{j})}{(n + 1)!} .

Aufgabe 36: (4 Punkte) Schreiben Sie ein Programm, das das Interpolationspolynom zu gegebenen Stützstellen und Stützwerten berechnet. Testen Sie Ihr Programm am Runge–Beispiel mit n = 5, 10, 20 Stützstellen. Wählen Sie die Stützstellen zunächst äquidistant, dann als Nullstellen der Tschebyscheff–Polynome. Plotten Sie das Ergebnis.