Dr. Frank Wübbeling WS 2002/03

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Übungsblatt 9 , Abgabe: 8.1.2003 , 11.00 Uhr

Aufgabe 33: (4 Punkte) Sei H = (h_{ij}) eine Hessenbergmatrix und H = QR, R = (r_{ij}), ihre QR-Zerlegung. Zeigen Sie: |r_{ii}| ≥ |h_{i+1,i}|, i = 1, …, n − 1.

Aufgabe 34: (4 Punkte)

Die beiden Matrizen

A = ( \begin{matrix}11 & −8 & 0 \\ 9 & −6 & 0 \\ 13.5 & −11 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}29 & −16 & −8 \\ 28.25 & −14 & −9 \\ 30.25 & −19 & −6 \end{matrix} )

haben beide den betragsgrößten Eigenwert λ_{1} = 3.

a) Berechnen Sie nach der Potenzmethode für beide Matrizen Approximationen x_{A}, λ_{A} bzw. x_{B}, λ_{B} für λ_{1} und einen dazugehörigen Eigenvektor x_{1}, so daß für die Defekte

\begin{aligned}d_{A} & = & Ax_{A} − λ_{A}x_{A} & , & d_{B} & = & Bx_{B} − λ_{B}x_{B} & gilt : \\ ε_{A} & = & \frac{∥d_{A}∥}{∥x_{A}∥_{2}} ≤ 0.1 & , & ε_{B} & = & \frac{∥d_{B}∥_{2}}{∥x_{B}∥_{2}} ≤ 0.1 & . \end{aligned}

b) Vergleichen Sie die Verhältnisse

|λ_{1} − λ_{A}|/ε_{A} , |λ_{1} − λ_{B}|/ε_{B}

und erklären Sie das Resultat.

Aufgabe 35: (4 Punkte)

(a) Was kann man durch Anwendung des Satzes von Gerschgorin über die Lage der Eigenwerte der folgenden Matrix sagen?

( \begin{matrix}3 & 1 & 0 & −1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & −1 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & −2 \\ 2 & 1 & 0 & −4 & 0 \\ 3 & 0 & −1 & 0 & −5 \end{matrix} )

\underline{Hinweis:} Wenden Sie den Satz von Gerschgorin auch auf die transponierte Matrix an.

(b) Sei P (λ) = λ^{n} + a_{n−1}λ^{n−1} + … + a_{0} ein Polynom vom Grade n und sei P (λ_{0}) = 0. Zeigen Sie:

|λ_{0}| ≤ max_{i=0,...,n−1} |a_{i}| + 1 .

Aufgabe 36: (4 Punkte) Seien folgende Stützstellen und Stützwerte gegeben

\begin{matrix}i & x_{i} & y_{i} \\ 0 & −1 & −1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 11 \\ 3 & 3 & 27 \end{matrix}

Sei p_{0123} das zugehörige Interpolationspolynom vom Grad 3.

(a) Berechnen Sie p_{0123}(x) durch die Methode von Lagrange.

(b) Berechnen Sie p_{0123}(x) durch die Methode von Newton.

(c) Berechnen Sie p_{0123}(1) durch die Methode von Neville.

Allen Teilnehmern der Vorlesung ein Frohes Weihnachtsfest und ein erfolgreiches Jahr