Prof. Dr. F. Natterer SS 2000 Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen” Übungsblatt , Abgabe: Nicht erforderlich, da Vorbereitung auf die Klausur.

Aufgabe 1: Lösen Sie folgende Anfangswertaufgabe

(a) y′ = xy, y(0) = 1

(b) y′ + y = x, y(0) = 0

(c) y′ = \frac{y^{2}}{x^{2}} , y(1) = 1

(d) y′ = 1 + \frac{y}{x}, y(1) = 0.

Aufgabe 2: Wie lautet der Fixpunktsatz von Banach?

Aufgabe 3: Sei f(x) ∈ C[a, b] und f > 0 in [a, b]. Sei u ∈ C^{2}[a, b] eine Lösung von u′′ = f(x)u. Zeigen Sie: u kann in (a, b) kein positives Maximum haben. Aufgabe 4: Wir betrachten

y′_{1} = ay_{1} , y′_{2} = 2y_{1} + ay_{2}

mit einer Konstanten a ∈ IR. Zeigen Sie: Der Gleichgewichtspunkt (0, 0)^{T} ist asymptotisch stabil, falls a < 0. Aufgabe 5: Welche der Differentialgleichungen in Aufgabe 1 sind exakt? Bestimmen Sie für die nichtexakten einen integrierenden Faktor.

Aufgabe 6: Das Polynom

p(λ) = λ^{n} + a_{n−1}λ^{n−1} + ⋯ + λa_{1} + a_{0} = 0

habe die Nullstellen λ_{1}, …, λ_{m} mit den Vielfachheiten σ_{1}, …, σ_{m}.

(a) Geben Sie ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

y^{(n)} + a_{n−1}y^{(n−1)} + ⋯ + a_{1}y′ + a_{0} = 0

an.

(b) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y^{(n)} + a_{n−1}y^{(n−1)} + ⋯ + a_{1}y′ + a_{0}y = 1

an.

Aufgabe 7: Zeigen sie, daß es eine Funktion ϕ(x, y) mit

dϕ = xy^{2}dx + x^{2}ydy

gibt und bestimmen Sie eine solche Funktion ϕ. Aufgabe 8: Berechnen Sie die Greensche Funktion von

−y′′ + y = f(x) , y(0) = y(1) = 0 .