Prof. Dr. F. Natterer SS 2000 Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen” Übungsblatt 9 , Abgabe: 30.06.2000

Aufgabe 33: (4 Punkte) Sei J_{ν} die Bessel-Funktion 1. Art der Ordnung ν. Zeigen Sie:

J_{ν}(x)J′_{−ν}(x) − J′_{ν}(x)J_{−ν}(x) = −\frac{2 sin νπ}{πx} , x > 0 .

Aufgabe 34: (4 Punkte) Sei w ∈ C[0, p], und sei f die Fortsetzung von w auf IR^{1} als Funktion der Periode p.

(a) Zeigen Sie, daß

Lf = \frac{1}{1 − e^{−sp}} Lw ,

wobei Lw die Laplace-Transformation der durch 0 auf IR^{1} fortgesetzten Funktion w ist.

(b) Berechnen Sie die Laplace-Transformation der Funktion

Aufgabe 35: (4 Punkte)

(a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für das System 1. Ordnung

y′ + \frac{1}{x}Qy = 0 ,

wobei Q eine konstante (n, n)-Matrix bedeutet.

(b) Zeigen Sie, daß die Randwertaufgabe

y′ + \frac{1}{x}Qy = f in a ≤ x ≤ b , 0 < a < b ,
y(a) − y(b) = g ,

genau dann für alle f, g eindeutig lösbar ist, wenn die Matrix e^{Q log(a/b)} nicht den Eigenwert 1 hat.

(c) Geben Sie die Greensche Funktion für das Randwertproblem in (a) mit g = 0 an für den Fall, daß es eindeutig lösbar ist.

Aufgabe 36: (4 Punkte) Berechnen Sie die Greensche Funktion der Randwertaufgabe

\begin{aligned}y′′ + \frac{p}{x}y′ + \frac{q}{x^{2}} y & = & f , \\ y(a) = y(b) & = & 0 . \end{aligned}

Dabei seien p, q komplexe Zahlen und 0 < a < b.