Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 8 , Abgabe: Fr, 23.06.00, 11.00 Uhr,

Aufgabe 29: (4 Punkte) Die Differentialgleichung

y′′ + a_{1}y′ + a_{0}y = b_{0} + b_{1}x + … + b_{m}x^{m}

mit Konstanten a_{i}, b_{j} hat eine Lösung der Form

y = x^{p}(A_{0} + A_{1}x + … + A_{m}x^{m})

wobei p = min{i : a_{i} ≠ 0}.

Aufgabe 30: (4 Punkte) Lösen Sie die Anfangswertaufgaben aus Aufgabe 27 mit Hilfe der Laplace-Transformation.

Aufgabe 31: (4 Punkte) Berechnen Sie für die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung

y′′ + \frac{β − x}{x}y′ − \frac{α}{x}y = 0 , α, β ∈ C

im Falle nicht ganzzahliger β ein Fundamentalsystem. Zeigen Sie, daß die Reihen für alle x konvergieren.

Aufgabe 32: (4 Punkte) Wir betrachten die Anfangswertaufgabe

ÿ + aẏ + by = cos ωt , y(0) = ẏ(0) = 0

mit reellen Konstanten a, b, ω. Zeigen Sie: Für a > 0, b > 0 gibt es reelle Zahlen δ, c, so daß für t → ∞

y(t) − c cos(ωt + δ) → 0 .

Berechnen Sie δ, c.