Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 7 , Abgabe: 9.06.2000

Aufgabe 25: (4 Punkte) Sei A die (n, n)-Matrix

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & ⋯ \\ 0 & ⋯ & & & 0 & 1 \\ −a_{0} & −a_{1} & & ⋯ & & −a_{n−1} \end{matrix} ) .

Dabei seien a_{0}, …, a_{n−1} komplexe Zahlen.

Das Polynom λ^{n} + a_{n−1}λ^{n−1} + ⋯ + a_{0} = 0 habe die paarweise verschiedenen Nullstellen λ_{1}, …, λ_{m} mit den Vielfachheiten σ_{1}, …, σ_{m}. Zeigen Sie: Die Jordansche Normalform von A besteht aus m Jordan-Kästchen der Längen σ_{1}, …, σ_{m}.

Aufgabe 26: (4 Punkte) Sei λ ein Eigenwert von A und c_{1}, …, c_{r} linear unabhängige Hauptvektoren zu λ, d.h.

(A − λI)c_{k} = c_{k−1} , k = 1, …, r , c_{0} = 0 .

Zeigen Sie, daß

y_{k}(x) = (c_{k} + xc_{k−1} + ⋯ + \frac{x^{k−1}}{(k − 1)!}c_{1})e^{λx} , k = 1, …, r ,

linear unabhängige Lösungen von y′ = Ay sind.

Aufgabe 27: (8 Punkte) Lösen Sie die Anfangswertaufgaben

(a) y′′ + y′ + 3y = x^{2}, y(0) = 1, y′(0) = 0.

(b) y′′′ + 2y′′ + y′ = sin x, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.

Überprüfen Sie Ihr Resultat mit MAPLE.

Aufgabe 28: (4 Punkte) Geben Sie ein Fundamentalsystem an für das System

\begin{aligned}y′_{1} & = & y_{1} + \frac{1}{2}y_{2} − \frac{1}{2}y_{3} + 1 \\ y′_{2} & = & \frac{3}{2}y_{2} − \frac{1}{2}y_{3} − 2 \\ y′_{3} & = & \frac{1}{2}y_{2} + \frac{1}{2}y_{3} + x \end{aligned}

und lösen Sie das Anfangswertproblem

y_{1}(0) = 0 , y_{2}(0) = 1 , y_{3}(0) = −1 .

Überprüfen Sie Ihr Resultat mit MAPLE.