Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 6 , Abgabe: 2.06.2000

Aufgabe 21: (4 Punkte) Sei c(t) = a(t) + ib(t). Wir betrachten die komplexe Differentialgleichung z′ = cz.

(a) Schreiben Sie ein äquivalentes lineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil von z auf.

(b) Zeigen Sie, daß v(t) = |z(t)|^{2} einer linearen Differentialgleichung genügt.

(c) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem des Systems aus (a) mit

a = cos t , b = sin t

und berechnen Sie dessen Wronski-Determinante.

Aufgabe 22: (4 Punkte) Seien a, b ∈ C^{1}(IR^{2}) mit a^{2} + b^{2} > 0. Zeigen Sie:

(a) Eine Funktion w ∈ C^{1}(IR^{2}) ist genau dann Lösung der partiellen Differentialglei-

chung

aw_{x} + bw_{y} = 0 ,

wenn w entlang aller Lösungen von x′ = a(x, y), y′ = b(x, y) konstant ist.

(b) Sei C : x = φ(s), y = ψ(s), 0 ≤ s ≤ 1, eine Kurve in IR^{2} mit φ, ψ ∈ C^{1}[0, 1] und a(φ(s), ψ(s))ψ′(s) − b(φ(s), ψ(s))φ′(s) ≠ 0. Zeigen Sie, daß es in einer Umgebung von C eine Lösung w der partiellen Differentialgleichung gibt, welche entlang C vorgeschriebene Werte w(φ(s), ψ(s)) = χ(s), χ ∈ C^{1}[0, 1] annimmt.

Aufgabe 23: (4 Punkte) Sei A(t) eine stetige (n, n)-Matrix mit der Periode p, d.h. A(t + p) = A(t). Sei Y ein Fundamentalsystem von y′ = Ay. Zeigen Sie:

(a) Es gibt eine invertierbare Matrix C mit Y (t + kp) = Y (t)C^{k}, k ∈ Z.

(b) Zu jedem Eigenwert λ von C gibt es eine Lösung y von y′ = Ay mit y(t+p) = λy(t).

Aufgabe 24: (4 Punkte) Sei A(t) eine im Intervall J stetige schiefsymmetrische (d.h. A^{T} = −A) Matrix, und sei Y ein Fundamentalsystem von y′ = Ay. Zeigen Sie: Ist Y unitär (d.h. Y^{T} Y = I) für ein x_{0} ∈ J, so ist Y unitär in ganz J.