Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 5 , Abgabe: 26.05.2000

Aufgabe 17: (4 Punkte) Wir betrachten die Differentialgleichung pdx + qdy = 0 mit p, q ∈ C^{1}(IR^{2}).

(a) Hängt f = (p_{y} −q_{x})/q nur von x ab, so gibt es einen integrierenden Faktor der Form M = M(x).

(b) Hängt g = (p_{y} −q_{x})/p nur von y ab, so gibt es einen integrierenden Faktor der Form M = M(y).

(c) Hängt h = (p_{y} − q_{x})/(xp − yq) nur von xy ab, so gibt es einen integrierenden Faktor der Form M = M(xy).

Aufgabe 18: (4 Punkte) Lösen Sie folgende Differentialgleichungen durch integrierende Faktoren nach Aufgabe 17:

(a) y′ = \frac{2xy}{3x^{2} − y^{2}}
(b) y′ = \frac{3x^{2}(y − x)^{2} − sin x + x cos x}{3x^{2}(y − x)^{2}}
(c) y′ = −\frac{3xy + 4x^{2}y^{2}}{2x^{2} + 3x^{3}y}
(d) y′ = −\frac{cos x}{4ye^{−y} + sin x}

Aufgabe 19: (4 Punkte) Lösen Sie die Differentialgleichung

y′ = −\frac{4x + 3y − 1}{3x + 4y + 1} .

Aufgabe 20: (4 Punkte) Lösen Sie

y′ = −\frac{2x^{2} + 2xy + y^{2}}{x^{2} + 2xy}

(a) als homogene Differentialgleichung.

(b) als exakte Differentialgleichung.