Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 4 , Abgabe: 19.05.00

Aufgabe 13: (4 Punkte) Bestimmen Sie für die Differentialgleichung

xy^{3} + y − 2xy′ = 0

einen integrierenden Faktor und konstruieren Sie damit Lösungen, die nicht identisch verschwinden.

Aufgabe 14: (4 Punkte) Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben:

(a) y′e^{y} − x − x^{3} = 0, y(1) = 1.

(b) y′y + (1 + y^{2}) sin x = 0, y(0) = 1.

Aufgabe 15: (4 Punkte) Lösen Sie die logistische Differentialgleichung aus Paragraph 1 in Kapitel I mit den Methoden aus Paragraph 1 in Kapitel III.

Aufgabe 16: (4 Punkte) Die Kurven der Schar

r = c(1 + cos φ)

nennt man Kardioiden (r,φ bedeuten Polarkoordinaten, d.h. x = r cos φ, y = r sin φ). Zeigen Sie: Die Orthogonaltrajektorien dieser Schar sind ebenfalls Kardioiden.

Kardioiden für c = 1 und c = 2

\underline{Hinweis:} Am besten schreiben Sie die allgemeine Form der Differentialgleichung für die Orthogonaltrajektorien aus Aufgabe 9 in Polarkoordinaten auf.